每日一题_191016

若平面向量$\left| \boldsymbol{a}\right|=2$,$\left| \boldsymbol{b}\right|=3$,$\left| \boldsymbol{e}\right|=1$,且$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e}\cdot\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)+1=0$.则$\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|$的最小值是$(\qquad)$
$\mathrm{A}.1$ $\qquad\mathrm{B}.2\sqrt{3}-1$ $\qquad\mathrm{C}.\sqrt{12-4\sqrt{3}}$ $\qquad\mathrm{D}.\sqrt{7}$

解析: 法一 矩形的性质 由题设 $$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{e})=\left( \overrightarrow{OA} , \overrightarrow{OB} , \overrightarrow{OE} \right)$$ 如图所示,


易知$EA\perp EB$,构造矩形$FAEB$,不妨固定$E$点,则由矩形性质可知 $$|OF|^2+|OE|^2=|OA|^2+|OB|^2.$$ 所以$F$点的轨迹方程为 $$x^2+y^2=12.$$ 从而$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,即$|AB|$,也即$|EF|$的最小值为$2\sqrt{3}-1$.

法二 由题 $$|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+1|=|\boldsymbol{e}\cdot\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)|\leqslant |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|.$$ 两边平方可得$$
\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)^2+2\cdot\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+1\leqslant \boldsymbol{a}^{2+\boldsymbol{b}}2+2\cdot \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}. $$所以$$ -2\sqrt3\leqslant \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}\leqslant 2\sqrt{3}. $$因此$$
|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2+\boldsymbol{b}}2-2\cdot \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}\geqslant \sqrt{13-4\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-1.$$
当$\boldsymbol{e}$与$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$同向时取等.因此所求表达式的最小值为$2\sqrt{3}-1$.