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Math521_刘雷

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f(x)=ln(x+1),g(x)=ex1.
(1) 证明:x0时,2xx+2f(x)x;
(2) x0时,f(x)g(x)ax2,求实数a的取值范围.

解析:
(1) 由于我们熟知x1,x1lnx2(x1)x+1.因此只需将上述不等式中的x置换为x+1,则题中不等式得证.
(2) 经由端点分析可知a1. 以下对参数a1为分界点分类讨论.
情形一 若a1,构造函数$$
h(x)=\dfrac{\mathrm{e}x-1}{x},x>0.$h(x)$h'(x)=\dfrac{x\mathrm{e}x-\mathrm{e}x+1}{x2},x>0.$$易知x>0,h(x)>0,所以h(x)为单调递增函数,因此x>0,h(x)=ex1x>xln(x+1)=h(ln(x+1)).从而x0,(ex1)ln(x+1)x2ax2.因此a1满足题设.
情形二 若a>1,构造函数$$F(x)=(\mathrm{e}x-1){\ln}(x+1)-ax2,x\geqslant 0.$$分别对F(x)求一二阶导函数可得$$
\begin{cases}
&F'(x)=\dfrac{\mathrm{e}x-1}{x+1}+\mathrm{e}x{\ln}(x+1)-2ax,\
&F''(x)=\dfrac{x\mathrm{e}x+1}{(x+1)2}+\mathrm{e}^x\left[{\ln}(x+1)+\dfrac{1}{x+1}\right]-2a.
\end{cases}$$
F.此时必然存在x_0>0,使得 \forall x\in\left(0,x_0\right),F''(x)<0,即在区间(0,x_0)内,F'(x)单调递减,此时 \forall x\in\left(0,x_0\right),F'(x)<F'(0)=0.于是F(x)(0,x_0)单调递减,有 \forall x\in\left(0,x_0\right),F(x)<F(0)=0.不符题设,舍去.

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