设f(x)=ln(x+1),g(x)=ex−1.
(1) 证明:x⩾0时,2xx+2⩽f(x)⩽x;
(2) x⩾0时,f(x)⋅g(x)⩾ax2,求实数a的取值范围.
解析:
(1) 由于我们熟知∀x⩾1,x−1⩾lnx⩾2(x−1)x+1.因此只需将上述不等式中的x置换为x+1,则题中不等式得证.
(2) 经由端点分析可知a⩽1. 以下对参数a以1为分界点分类讨论.
情形一 若a⩽1,构造函数$$
h(x)=\dfrac{\mathrm{e}x-1}{x},x>0.对$h(x)$求导可得h'(x)=\dfrac{x\mathrm{e}x-\mathrm{e}x+1}{x2},x>0.$$易知∀x>0,h′(x)>0,所以h(x)为单调递增函数,因此∀x>0,h(x)=ex−1x>xln(x+1)=h(ln(x+1)).从而∀x⩾0,(ex−1)ln(x+1)⩾x2⩾ax2.因此a⩽1满足题设.
情形二 若a>1,构造函数$$F(x)=(\mathrm{e}x-1){\ln}(x+1)-ax2,x\geqslant 0.$$分别对F(x)求一二阶导函数可得$$
\begin{cases}
&F'(x)=\dfrac{\mathrm{e}x-1}{x+1}+\mathrm{e}x{\ln}(x+1)-2ax,\
&F''(x)=\dfrac{x\mathrm{e}x+1}{(x+1)2}+\mathrm{e}^x\left[{\ln}(x+1)+\dfrac{1}{x+1}\right]-2a.
\end{cases}$$
则F″.此时必然存在x_0>0,使得
\forall x\in\left(0,x_0\right),F''(x)<0,即在区间(0,x_0)内,F'(x)单调递减,此时
\forall x\in\left(0,x_0\right),F'(x)<F'(0)=0.于是F(x)在(0,x_0)单调递减,有
\forall x\in\left(0,x_0\right),F(x)<F(0)=0.不符题设,舍去.
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