每日一题_191005

定义在封闭的平面区域$D$内任意两点的距离的最大值称为平面区域$D$的``直径''.已知锐角三角形的三个顶点$A,B,C$在半径为$1$的圆上,且$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$,分别以$\triangle ABC$各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和$\triangle ABC$构成平面区域$D$,则平面区域$D$的"直径"的最大值是$\underline{\qquad\qquad}$.


解析: 如图将平面区域$D$划分为四块
区域$\rm I:$以$AB$为直径的半圆$($包含周长$)$区域.
区域$\rm II:$以$BC$为直径的半圆$($包含周长$)$区域.
区域$\rm III:$以$CA$为直径的半圆$($包含周长$)$区域.
区域$\rm IV:$$\triangle ABC$内部的$($不包含周长$)$区域.


如图,$D,E,F$分别为$\triangle ABC$三边上的中点,分别连接并延长$DE,EF,DF$交区域$D$的边界于$G,H,I,J,K,L$六点, 根据题意,仅需考察以下三组距离的最大值即可$:$ 区域$\rm I$内点到$\rm II$内点的距离,区域$\rm II$内点到$\rm III$内点的距离,区域$\rm I$内点到$\rm III$内点的距离. 而区域$\rm I$内点到区域$\rm II$内点的最大值即$|KL|$,又 $$|DL|=|DB|,|FK|=|FB|.$$ 所以区域$\rm I$内点到区域$\rm II$内点距离的最大值即$\triangle BDF$的周长,记为$C_{\triangle BDF}$,于是原题转化为求 $$\mathrm{max}\left\{C_{\triangle BDF},C_{\triangle CEF},C_{\triangle ADE} \right\}.$$ 而 $$C_{\triangle BDF}=C_{\triangle CEF}=C_{\triangle ADE}=\dfrac12C_{\triangle ABC}.$$ 于是问题进一步转化为求$\triangle ABC$周长的最大值,也即求$AB+AC$的最大值,分别记 $$(BC,AC,AB)=(a,b,c).$$ 则由余弦定理 $$b^2+c^2-a^2=2bc\cos A=bc.$$ 于是 $$(b+c)^2-3=3bc\leqslant \dfrac{3}{4}\left(b+c\right)^2.$$ 所以$b+c$的最大值为$2\sqrt3$,当且仅当$b=c=\sqrt3$时取得,因此平面区域$D$的``直径''的最大值为$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.