每日一题_190929

在\(\triangle ABC\)中,角\(A,B,C\)所对的边分别是\(a,b,c\),若\(a\)\(=\)\(1\),且\(BC\)边上的高等于\(\tan A\),则\(\triangle ABC\) 的周长的取值范围为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析: 由题,不妨设\(c\geqslant b\).过\(A\)作\(BC\)直线的垂线,垂足为\(H\),


于是$$ \begin{split} b+c=\dfrac{AH}{\sin C}+\dfrac{AH}{\sin B}=\dfrac{1}{\cos A}\cdot \left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{b}\right)=\dfrac{2(b+c)}{b^2+c^2-1}. \end{split}$$ 从而可得$b^2+c^2=3,c\geqslant b$,另外考虑到$a,b,c$三边需满足构成三角形的充要条件,可得关于$b,c$的以下约束关系$$ \begin{cases} & c\geqslant b>0,\\ & b^2+c^2=3,\\ & c-b1,\\ \end{cases}$$ 于是$\triangle ABC$的周长$a+b+c$的取值范围为$\left(1+\sqrt{5},1+\sqrt{6}\right]$.