已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}(a>b>0)\) 的左右焦点分别为为 \(F_1,F_2,\)
过 \(F_1\) 的直线 \(l\) 交 \(C\) 于 \(A,B\) 两点. 若 \(\overrightarrow{AF_1}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{AB},
|AF_2|=|F_1F_2|,\) 则椭圆 \(C\) 的离心率为 \((\qquad)\)
\(\mathrm{A.}\dfrac{2}{7}\qquad\) \(\mathrm{B.} \dfrac{3}{7}\qquad\) \(\mathrm{C.}\dfrac{4}{7}\qquad\) \(\mathrm{D.}\dfrac{5}{7}\)
解析: 法一 如图
根据题意知 $|AF_2|=2c,$ 结合椭圆的定义得 $$ |AF_1|=2(a-c),$$ 又 $\overrightarrow{AF_1}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{AB}$, 则 $$|BF_1|=\dfrac{3}{2}(a-c), |BF_2|=\dfrac{1}{2}(a+3c) .$$ 取 $AF_1$ 的中点 $E,$ 连接 $F_2E,$ 又因为 $$ |AF_2|=|F_1F_2| ,$$所以在 $ \mathrm{Rt} \triangle EF_2A,\mathrm{Rt} \triangle EF_2B$ 中, 应用勾股定理得 $$AE^2+EF_2^2=AF_2^2,BE^2+EF_2^2=BF_2^2,$$ 代入数值并运算可得 $7c=5a\text{ 或 } a=c$ $( $舍去 $),$ 所以 $e=\dfrac{5}{7},$ 选项 $\mathrm{D}$ 正确.法二 设椭圆的半焦距 为 $ c$.
如图, 设 $\angle AF_1F_2=\theta$, 则由椭圆的焦半径公式 $\mathrm{II}$ 可得 $$ |AF_1|=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}, |BF1|=\dfrac{ep}{1+e\cos\theta}, $$ 其中 $p$ 为椭圆的焦准距, $p=\dfrac{b^2}{c}$. 由 $\overrightarrow{AF_1}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{AB}$ 可得 $$ \dfrac 43=\dfrac{|AF_1|}{|BF_1|}=\dfrac{1+e\cos\theta}{1-e\cos\theta}. $$ 解得 $e\cos\theta =\dfrac 17$. 从而可得 $$ 2c=|F_1F_2|=|AF_2|=2a-|AF_1|=2a-\dfrac{ep}{1-\frac 17}=2a-\dfrac 76\cdot \dfrac{b^2}{a}. $$ 将 $b^2=a^2-c^2$ 代入并整理可得 $(5a-7c)(a-c)=0$, 因此所求离心率为 $\dfrac57$.