设\(\left(\sqrt{10}+3\right)^{2n+1}(n\in\mathbb{N})\)的整数部分和小数部分分别为\(a,b\),则\(\left(a+b\right)b\)的值是\(\underline{\qquad\qquad}.\)
解析: 考虑引入共轭因子,记$$(A,B)=\left(\left(\sqrt{10}+3\right){2n+1},\left(\sqrt{10}-3\right)\right)$$显然$$0<B<1,$$而\(A-B\)的结果显然为正整数,因此意味着\(B\)就是\(A\)的小数部分, 因此$$\left(a+b\right)b=A\cdot B=1.$$
