已知点 \(P(3,1)\), 圆 \(C: (x-1)^2+(y-2)^2=4\).
\((1)\) 求过点 \(P\) 的圆 \(C\) 的切线方程\(;\)
\((2)\) 若圆 \(C\) 上的两点 \(M,N\) 关于直线 \(l: x+my+1=0\) 对称, 且 \(\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=1\), 求 \(S_{\triangle OMN}\).
解析:
\((1)\) 显然点 \(P\) 位于圆 \(C\) 外, 因此过 \(P\) 的 圆\(C\) 的切线有两条. 显然 \(x=3\) 是其中一条, 若记另一条切线斜率为 \(k\), 则其方程可设为
$$
kx-y+1-3k=0.$$
由圆心 \(C\) 到该直线的距离等于圆 \(C\) 的半径可得$$
\dfrac{ | k\cdot 1-2+1-3k| }{\sqrt{1+k^2}}=2.$$
解得 \(k=\dfrac 34\), 因此另一条切线方程为 \(3x-4y-5=0\).
\((2)\) 由题可知直线 \(l\) 垂直平分弦 \(MN\), 因此 \(l\) 经过圆心 \(C(1,2)\), 所以 \(m=-1\). 如图,
\(P\) 为 \(MN\) 中点, 连接 \(OC\), \(OP\), 过 \(O\) 分别作 \(OA\perp MN\), \(OB\perp l\), 垂足分别为 $ A,B$. 设 \(CP=t\), 则
$$
\begin{split}
1&=\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=\left( \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}\right)\cdot \left( \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PN}\right)=OP2-PM2\
&=OB2+BP2-\left( CM2-CP2 \right)=\dfrac 12+\left( BC-t \right)2-(22-t^2)\
&=1-3\sqrt{2}t+2t^2.
\end{split}$$
解得 \(t=0\) 或 \(t=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\), 由于 \(-2<t<2\), 因此 \(t=0\), 满足题意的 \(MN\) 恰为直径, 从而所求三角形面积为$$
S_{\triangle OMN}=\dfrac{ 1}{2}\cdot OA\cdot MN=BC\cdot MP=3\sqrt{2}.$$
