在 \(\triangle ABC\) 中, \(\sin \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), 点 \(D\) 在线段 \(AC\) 上, 且 \(AD=2DC\), \(BD=\dfrac{4\sqrt3}{3}\), 则 \(\triangle ABC\) 的面积的最大值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
法一 根据题意有
$$ \cos\angle ABC=1-2\sin^2\dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac 13.$$
因此 \(\angle ABC\) 是一个大小确定的锐角, 并且 \(\tan\angle ABC = 2\sqrt 2\). 如图, 建立平面直角坐标系.
设 \(\theta=\angle DBC, C(x,0)\). 则 \(D\) 点坐标为$$
\begin{cases}
& x_D=BD\cdot \cos\theta=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\cos\theta,\
& y_D=BD\cdot \sin\theta=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\sin\theta.
\end{cases}$$ 又 \(D\) 点是线段 \(AC\) 上靠近 \(C\) 点的三等分点, 从而 \(A\) 点坐标易求得$$
\left( x_A,y_A\right)=\left( 4\sqrt{3}\cos\theta-2x,4\sqrt{3}\sin\theta \right).$$
结合 \(k_{AB}=\tan\angle ABC=2\sqrt{2}\) 可得 \(x,\theta\) 的关系式如下$$
\dfrac{4\sqrt{3}\sin\theta}{4\sqrt{3}\cos\theta-2x}=2\sqrt{2}.$$
即有 \(x=2\sqrt{3}\cos\theta-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\sin\theta\). 从而 \(\triangle ABC\) 的面积$$
\begin{split}
S_{\triangle ABC}&=3S_{\triangle DBC}=3\cdot \dfrac 12\cdot BD\sin\theta\cdot BC\
&=3\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \sin\theta\cdot \left( 2\sqrt{3}\cos\theta-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\sin\theta\right) \
&=6\cdot \left( \sin 2\theta+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cos 2\theta-\dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)\
&\leqslant 3\sqrt{2}.
\end{split}$$
当且仅当 \(\tan 2\theta=2\sqrt{2}\), 也即 \(\tan\theta =\dfrac{\sqrt{ 2}}{2}\) 时, 上述不等式取等, 因此所求三角形面积最大值为 \(3\sqrt 2\).
法二 如图, 作辅助线 \(CE\), 使得 \(CE\parallel AB\), 延长 \(BD\) 交 \(CE\) 于点 \(E\),
则 \(\triangle ABD\sim \triangle CED\), 且相似比为 \(2:1\), 于是
$$
BE=BD+DE=BD+\dfrac12 BD=2\sqrt{3}.
$$并且$$
\angle BCE=\angle BCD+\angle ECD=\angle BCA+\angle BAC=\pi-\angle ABC.$$ 故 \(\triangle BCE\) 中存在定弦定角模型, 作 \(CH\perp BE\), 垂足为 \(H\), 显然当 \(H\) 为 \(BE\) 中点时 \(CH\) 取得最大值. 即
$$
\begin{split}
S_{\triangle ABC}&=3S_{\triangle DBC}=2S_{\triangle EBC}\
&=2\cdot \dfrac 12\cdot CH\cdot BE\
&\leqslant \left( \dfrac 12BE \cdot \tan \dfrac{\angle ABC}{2}\right)\cdot BE\
&=3\sqrt 2.
\end{split} $$ 因此所求三角形面积最大值为 \(3\sqrt{2}\).
法三 由题$$
\cos\angle ABC=1-2\sin^2\dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac 13.$$
设 \((a,c)=(BC,BA)\), 又显然 \(\overrightarrow{BD}=\dfrac23\overrightarrow{BC}+\dfrac13\overrightarrow{BA}\), 两边平方可得$$
\dfrac{16}{3}=\dfrac{4}{9}a2+\dfrac19c2+\dfrac{4}{27}ac\geqslant \dfrac{16}{27}ac.$$
因此 \(ac\leqslant 9\), 进而$$
S_{\triangle ABC}=\dfrac 12 ac\sin\angle ABC\leqslant \dfrac 12\cdot 9\cdot \sqrt{ 1-\left( \dfrac 13 \right)^2}=3\sqrt2.$$
当且仅当 $\left( a,c \right)=\left( \dfrac{3\sqrt2}{2},3\sqrt{2}\right) $时, 上述不等时取等, 因此所求三角形面积最大值为 \(3\sqrt2\).
