已知椭圆 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 半焦距为 \(c\), 原点到经过 \((c,0),(0,b)\) 的直线距离为 \(\dfrac12 c\).
\((1)\) 求椭圆 \(E\) 的离心率;
\((2)\) 如图 \(AB\) 是圆 \(M: (x+2)^2+(y-1)^2=\dfrac{5}{2}\) 的一条直径, 若椭圆 \(E\) 过 \(A,B\) 两点, 求 \(E\) 的方程.
解析:
\((1)\) 若记 \(P(c,0), Q(0,b)\), 则 \(\triangle OPQ\) 为直角三角形且
$$
PQ=\sqrt{OP2+OQ2}=a^2.
$$从而 \(O\) 到直线 \(PQ\) 的距离也即该直角三角形斜边上的高为 $$
\dfrac 12c=\dfrac{ bc}{a}.
$$
解得所求椭圆的离心率为 \(\dfrac{\sqrt 3}{2}\).
\((2)\) 由椭圆的垂径定理可知
$$
k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b2}{a2}.
$$ 结合题中已知条件与 \((1)\) 中结论可知
$$
k_{OM}=-\dfrac12, \dfrac ba=\dfrac 12.
$$ 因此 \(k_{AB}=\dfrac 12\), 从而可得 \(A\) 点坐标的一个解
$$
\begin{cases}
& x=-2+\dfrac{\sqrt{10}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+k_{AB}^2}}=-2+\sqrt 2,\
& y=1+\dfrac{\sqrt{10}}{2}\cdot \dfrac{k_{AB}}{\sqrt{1+k_{AB}}}=1+\dfrac{\sqrt 2}{2}.
\end{cases}
$$ 又 \(A\) 点位于椭圆 \(E\) 上, 因此有
$$
\dfrac{\left(-2+\sqrt{2} \right)2}{4b2}+\dfrac{\left( 1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)2}{b2}=1.
$$ 解得 \(b=\sqrt3\). 因此所求椭圆方程为
$$
\dfrac{x2}{12}+\dfrac{y2}{3}=1.
$$
