每日一题_190910

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 半焦距为 $c$, 原点到经过 $(c,0),(0,b)$ 的直线距离为 $\dfrac12 c$.
$(1)$ 求椭圆 $E$ 的离心率;
$(2)$ 如图 $AB$ 是圆 $M: (x+2)^2+(y-1)^2=\dfrac{5}{2}$ 的一条直径, 若椭圆 $E$ 过 $A,B$ 两点, 求 $E$ 的方程.
解析:
$(1)$ 若记 $P(c,0), Q(0,b)$, 则 $\triangle OPQ$ 为直角三角形且
$$
PQ=\sqrt{OP^2+OQ2}=a^2.
$$从而 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离也即该直角三角形斜边上的高为 $$\dfrac 12c=\dfrac{ bc}{a}.$$
解得所求椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$.
$(2)$ 由椭圆的垂径定理可知
$$
k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a2}.
$$ 结合题中已知条件与 $(1)$ 中结论可知
$$k_{OM}=-\dfrac12, \dfrac ba=\dfrac 12.$$ 因此 $k_{AB}=\dfrac 12$, 从而可得 $A$ 点坐标的一个解
$$\begin{cases} & x=-2+\dfrac{\sqrt{10}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+k_{AB}^2}}=-2+\sqrt 2,\ & y=1+\dfrac{\sqrt{10}}{2}\cdot \dfrac{k_{AB}}{\sqrt{1+k_{AB}}}=1+\dfrac{\sqrt 2}{2}. \end{cases}$$ 又 $A$ 点位于椭圆 $E$ 上, 因此有
$$
\dfrac{\left(-2+\sqrt{2} \right)^2}{4b2}+\dfrac{\left( 1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}{b2}=1.
$$ 解得 $b=\sqrt3$. 因此所求椭圆方程为
$$
\dfrac{x^{2}{12}+\dfrac{y}2}{3}=1.
$$