每日一题_190911

点 \(A\) 是椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的右顶点, 若椭圆上存在异于端点的点 \(P\) 使得 \(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PA}=0\), 则该椭圆的离心率的取值范围为\(\underline{\qquad\qquad}\).

解析: 法一$ \qquad $设 \(P(x,y)\), 则根据题意可知 \(P\) 在以 \(OA\) 为直径的圆上, 因此其坐标满足
$$
x(x-a)+y^2=0 , 0<x<a.
$$ 又点 \(P\) 在椭圆上, 即有 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), 两式联立消去 \(y\) 并整理得
$$
(b^2-a2)x^2+a3 x-a^2b2=0.
$$ 注意到 \(x=a\) 是上述方程的一个根, 于是对上式可作如下因式分解
$$
(x-a)[(a^2-b2)x-ab^2]=0, 0<x<a.
$$ 于是解得 $ x= \dfrac{ab^2}{c2}$, 从而有
$$
0<\dfrac{ab^2}{c2}<a.
$$ 因此所求椭圆的离心率的取值范围为 \(\left( \dfrac{\sqrt 2}{2}, 1\right)\).
\(法二\qquad\) 由题可设 $P\left( a\cos\theta,b\sin\theta\right) $, 其中 \(\theta \in\left( -\dfrac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left( 0, \dfrac{\pi}{2}\right)\), 则由 \(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PA}=0\) 可得
$$
\left( a\cos\theta, b\sin\theta\right)\cdot \left( a-a\cos\theta, -b\sin\theta\right)=0.
$$ 整理可得
$$
\dfrac{b^2}{a2}=\dfrac{\cos\theta}{1+\cos\theta}, \theta\in \left( -\dfrac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left( 0, \dfrac{\pi}{2}\right).
$$ 所以 \(\dfrac{b^2}{a^2}\) 的取值范围为 \(\left(0,\dfrac 12 \right)\). 从而所求椭圆离心率的取值范围为 \(\left( \dfrac{\sqrt 2}{2}, 1\right)\).