每日一题_190907

记数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\), 已知 \(2S_n-a_n+1=n(a_n+1),\) 且 \(a_2=5.\) 若 \(m>\dfrac{S_n}{2^n},\) 则实数 \(m\) 的取值范围为\(\underline{\qquad\qquad}\).

解析: 由题 $$ \begin{cases}
& 2S_n-a_n+1=n(a_n+1) , \
& 2S_{n+1}-a_{n+1}+1=(n+1)(a_{n+1}+1),
\end{cases} $$
两式作差并整理可得
$$na_{n+1}-(n+1)a_n+1=0. $$
两边同除以 \(n(n+1)\), 可得
$$
\dfrac{a_{n+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{a_n}{n}-\dfrac{1}{n}.
$$
从而
$$
\dfrac{a_n}{n}-\dfrac 1n=\cdots=\dfrac{a_2}{2}-\dfrac 12=2.
$$
于是 \(a_n=2n+1,n\in\mathbb{N}^\ast\), 从而
$$
S_n=n^{2+2n,n\in\mathbb{N}}\ast.
$$
接下来通过研究数列 \(\left\{ \dfrac{S_n}{2^n} \right\}\) 的单调性求出其最大值. 由于
$$
\dfrac{S_{n+1}}{2^{{n+1}}-\dfrac{S_n}{2}n}=\dfrac{3-n^2}{2{n+1}}, n\in\mathbb{N}^\ast.
$$
所以数列 \(\left\{ \dfrac{S_n}{2^n} \right\}\) 在 \(n=2\) 时取得最大值 \(2\), 从而所求 \(m\) 的取值范围为 \((2,+\infty)\).