连分数系列

连分数

基础

欧拉连分数公式

\[a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2+\cdots+a_1a_2\cdots a_n=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{1+a_1-\frac{a_2}{1+a_2+\frac{\ddots}{\cdots\frac{a_n}{1+a_{n-1}-\frac{a_n}{1+a_n}}}}}} \]

这样我们得到

\[\begin{align} e^x&=1+x+1\cdot x\cdot \frac{x}{2}+1\cdot x\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{3}\cdots\\ &=\frac{1}{1-\frac{x}{1+x-\frac{\frac{1}{2}x}{1+\frac{1}{2}x-\frac{\frac{1}{3}x}{1+\frac{1}{3}x-\ddots}}}}\\ &=\frac{1}{1-\frac{x}{1+x-\frac{x}{2+x-\frac{2x}{3+x-\frac{3x}{4+x-\ddots}}}}} \end{align}\]

特别地，我们有

\[e=\frac{1}{1-\frac{1}{2-\frac{1}{3-\frac{2}{4-\frac{3}{5-\frac{4}{6-\ddots}}}}}} \]

同理可以得到

\[\sin x=\frac{x}{1+\frac{x^2}{2\cdot 3-x^2+\frac{2\cdot 3x^2}{4\cdot 5-x^2+\ddots}}} \]

\[\cos x=\frac{1}{1+\frac{x^2}{1\cdot 2-x^2+\frac{1\cdot 2 x^2}{3\cdot 4-x^2+\frac{3\cdot 4x^2}{5\cdot 6-x^2+\ddots}}}} \]

\[\arctan x=\frac{x}{1+\frac{x^2}{3-x^2+\frac{(3x)^2}{5-3x^2+\frac{(5x)^2}{7-5x^2+\ddots}}}} \]

\[\ln(1+x)=\frac{x}{1+\frac{x}{2-x+\frac{2^2x}{3-2x+\frac{3^2x}{4-3x+\ddots}}}} \]

\[\sinh x=\frac{x}{1-\frac{x^2}{2\cdot 3+x^2-\frac{2\cdot 3x^2}{4\cdot 5+x^2-\ddots}}} \]

\[\cosh x=\frac{1}{1-\frac{x^2}{1\cdot 2+x^2-\frac{1\cdot 2 x^2}{3\cdot 4+x^2-\frac{3\cdot 4x^2}{5\cdot 6+x^2-\ddots}}}} \]

等等，具体看参考【1】

练习

（ 1 ）证明

\[\sqrt{\frac{e\pi}{2}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!!}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{1+\ddots}}}}}}} \]

\[\color{red}{\begin{align}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_z^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x=\frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{R(z)\sqrt{2\pi}}\end{align}} \]

其中

\[R(z)=z+\frac{1}{z+\frac{2}{z+\frac{3}{z+\frac{4}{z+\ddots}}}} \]

令\(z=1\)代入得到

\[\begin{align}\frac{1}{R(1)}&=\sqrt{e}\int_1^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x\\ &=\sqrt{e}\cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}-\sqrt{e}\int_0^1 e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x \end{align}\]

其中

\[\begin{align}\sqrt{e}\int_0^1 e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x&=\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{1}{2}(1-x^2)\right)^n\text{d}x\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n n!}\underbrace{\int_0^1 (1-x^2)^n\text{d}x}_{x=\sin\theta}\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n n!}\int_0^{\pi/2} \cos^{2n+1}\theta\text{d}\theta\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n n!}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!!} \end{align}\]

代入即证

参考

1.茶水不太凉——Euler连分数公式与广义连分数