传染病模型
因为时间原因《数学模型》和《数学建模方法与分析》是看不完了，这篇文章作为这段时间阅读建模书籍以及准备美赛期间建模的知识小结。
从这一个模型看数学建模必然是不全面的，不过我认为尽可能地去做好一个数学模型比漫无目的地做几十个数学模型要好很多。
传染病模型
基本数学模型
基本的数学模型有SI、SIS、SIR、SEIR
\(t\)表示时刻，地区总人数不变，\(f(t)\)表示人群占比
- SI模型：HIV，最简单的模型，将人群分为易感染者\(s(t)\)和已感染者\(i(t)\)，设\(\lambda\)为感染率(有效接触率)
\[s(t)+i(t)=1
\]
\[\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\lambda si
\]
- SIS模型：普通流感模型，增加治愈率常数\(\mu\)
\[s(t)+i(t)=1
\]
\[\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\lambda si-\mu i
\]
- SIR模型：急性传染病模型，增加病愈免疫或因病死亡的人群\(r(t)\)
\[s(t)+i(t)+r(t)=1
\]
\[\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=-\lambda si,\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\mu i
\]
- SEIR模型：带潜伏期的恶性传染病，增加潜伏者\(e(t)\)，潜伏者患病率\(\theta\)
\[s(t)+e(t)+i(t)+r(t)=1
\]
\[\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=-\lambda si,\frac{\text{d}e}{\text{d}t}=\lambda si-\theta e,\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\theta e-\mu i,\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\mu i
\]
其中涉及到的人群
- 易感者：Susceptible
- 潜伏者：Exposed
- 感染者：Infectives
- 抵抗者/移除者：Resistances/Removed
在数学上可以分为
- 常微分方程(Ordinary Differential Equation)
- 偏微分方程(Partial Differential Equation)
- 差分方程(Difference Equation)
《数学模型P183》：SI、SIS、SIR体现了建模过程的不断深化.SI模型描述了传染病的蔓延，但不符合实际；SIS和SIR模型则针对愈后是否免疫这两种情况，描述了传播过程，得到患者比例的变化规律.SIR模型特别值得注意，他是研究更复杂、也更实用的许多传染病模型的基础.
SEIR模型不是万能的，会有很多特殊状况, 一定程度内这些异类都可以被扰动因子\(\nu\)所包含,研究一个固定的模型加扰动比不断地往模型里加扰动项好研究的多的多。
通过对 SEIR 模型的研究, 可以预测一个封闭地区疫情的爆发情况。但是显然没有任何地区是封闭的, 所以就要把各个地区看成图的节点, 地区之间的流动可以由马尔可夫转移所刻画, 对每个结点单独跑 SEIR 模型.
