一个有趣的结论

是否存在非零自然数k，使e^k<tan(k)？

Mahler(1953)的一个著名定理：$\left|\pi-\frac{p}{q}|>q^{-42}\right|$对所有整数$p,q>2$成立

假设$e^k<\tan k$，那么

$$1+e^{2k}<\sec^2 k\Rightarrow |\cos k|<(1+e^{2k})^{-1/2}$$

于是存在奇数$n$使得

$$|\pi-n\pi/2|<2|\sin (k-n\pi/2)|=2|\cos k|<(1+e^{2k})^{-1/2}$$

所以

$$|\pi-2k/n|<\frac{4}{n(1+e^{2k})^{1/2}}$$

并且$3n<2k<4n$
引用定理

$$n^{-42}<|\pi-2k/n|<\frac{4}{n(1+e^{2k})^{1/2}}$$

化简

$$n^{-41}<\frac{4}{(1+e^{3n})^{1/2}}<4e^{-3n/2}$$

计算得到$n\leqslant 135$

链接：K. Mahler, On the approximation of π, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56 (1953), 30–42,