一个有趣的结论
是否存在非零自然数k，使e^k<tan(k)？
Mahler(1953)的一个著名定理：\(\left|\pi-\frac{p}{q}|>q^{-42}\right|\)对所有整数\(p,q>2\)成立
假设\(e^k<\tan k\)，那么
\[1+e^{2k}<\sec^2 k\Rightarrow |\cos k|<(1+e^{2k})^{-1/2}
\]
于是存在奇数\(n\)使得
\[|\pi-n\pi/2|<2|\sin (k-n\pi/2)|=2|\cos k|<(1+e^{2k})^{-1/2}
\]
所以
\[|\pi-2k/n|<\frac{4}{n(1+e^{2k})^{1/2}}
\]
并且\(3n<2k<4n\)
引用定理
\[n^{-42}<|\pi-2k/n|<\frac{4}{n(1+e^{2k})^{1/2}}
\]
化简
\[n^{-41}<\frac{4}{(1+e^{3n})^{1/2}}<4e^{-3n/2}
\]
计算得到\(n\leqslant 135\)
链接：K. Mahler, On the approximation of π, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56 (1953), 30–42,
