从知乎摘录的分析问题

（1）一个典型的渐进问题

本题对我来说比较难
证明：$n\rightarrow \infty时$

$$\sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}=\frac{n^n}{2n!}\left\{\sqrt{2\pi n}+\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{2\pi}}{12\sqrt{n}}-\frac{8}{135n}+O\left(n^{-3/2}\right)\right\}$$

(https://zhuanlan.zhihu.com/p/55192654)

（2）迭代序列的收敛问题
设$f_0(x)$在$[0,1]$上可积，$f_0(x)>0$

$$f_n(x)=\sqrt{\int_0^xf_{n-1}(t)\text{d}t},n=1,2,\cdots$$

试求

$$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x),x\in[0,1]$$

（3）一类极限
第一类
第二类