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从知乎摘录的不等式练习

1、https://www.zhihu.com/question/407378721/answer/1377456629
a,b,c[0,1],求(1a+ab)2+(ab+bc)2+(1c+ca)2的最小值
证明:置x=aab,y=bbc,z=cca,则x,y,z[0,1]

1xyz=abc+(1a)(1b)(1c)

xy+yz+zx=ab(1-a)(1-c)+bc(1-b)(1-a)+ca(1-b)(1-b)\leqslant \frac{1}{4}[a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)]=\frac{1}{4} x+y+z\leqslant \frac{1}{4}

L.H.S-\frac{3}{2}==(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)+\frac{3}{2}\geqslant (x+y+z-1)^2\geqslant 0

等号成立可以a=0,b=1/2,c=1

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