《数学模型》 第5章 微分方程模型
第5章 微分方程模型
5.1 人口增长
指数增长模型
离散公式
\[x_k=x_0(1+r)^k
\]
Malthus 人口模型
\[\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=rx,x(0)=x_0\Rightarrow x(t)=x_0e^{rt}
\]
参数估计：最小二乘或者数值微分
改进的指数增长模型：将\(r\)时为随时间改变的线性函数
\[\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=(r_0-r_1t)x,x(0)=x_0\Rightarrow x(t)=x_0e^{r_0-r_1t^2/2}
\]
Logistic模型
\[\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=rx\left(1-\frac{x}{x_m}\right),x(0)=x_0\Rightarrow x(t)=\frac{x_m}{1+\left(\frac{x_m}{x_0}-1\right)e^{-rt}}
\]
