《数学模型》 第4章 数学规划模型

第4章 数学规划模型

上一章介绍优化模型，\(x\)表示决策变量，\(f(x)\)表示目标函数，\(x\)的取值范围为可行域\(\Omega\)，优化模型即

\[\min(\max)f(x),x\in \Omega \]

实际中变量通常有多个，用\(n\)维向量

\[\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T \]

目标函数\(f(\boldsymbol{x}))\)是多元函数，可行域比较复杂，常用一组不等式\(g_i(\boldsymbol{x})\leqslant 0(i=1,2,\cdots,m)\)来界定，称为约束条件。即

\[\min_x z=f(\boldsymbol{x})\quad s.t. \quad g_i(\boldsymbol{x})\leqslant 0,i=1,2,\cdots,m \]

4.1 奶制品的生产与销售

问题分析

优化目标：每天获利最大
决策：生产计划，每天多少桶牛奶生产\(A_1\)，多少桶生产\(A_2\)
决策变量受到3个条件的限制：原料供应、劳动时间、甲类设备的加工能力

基本模型

\[\max z=72x_1+64x_2\\ \begin{align}s.t. \quad &x_1+x_2\leqslant 50\\ &12x_1+8x_2\leqslant 480\\ &3x_1\leqslant 100\\ &x_1\geqslant 0,x_2\geqslant 0 \end{align}\]

模型分析与假设

从比例性、可加性、连续性考虑

模型求解

图解法和软件实现
Lingo代码

model:
max=72*x1+64*x2;
[milk] x1+x2<50;
[time] 12*x1+8*x2<480;
[cpct] 3*x1<100;
end

选择Lingo|Solve输出结果

  Global optimal solution found.全局最优解
  Objective value:                              3360.000目标值
  Infeasibilities:                              0.000000
  Total solver iterations:                             2迭代次数
  Elapsed runtime seconds:                          0.06运行时间

  Model Class:                                        LP线性规划

  Total variables:                      2变量个数
  Nonlinear variables:                  0非线性变量个数
  Integer variables:                    0整数变量个数

  Total constraints:                    4总约束
  Nonlinear constraints:                0

  Total nonzeros:                       7非零值
  Nonlinear nonzeros:                   0



                                Variable           Value        Reduced Cost
                                      X1        20.00000            0.000000
                                      X2        30.00000            0.000000

                                     Row    Slack or Surplus      Dual Price
                                       1        3360.000            1.000000
                                    MILK        0.000000            48.00000
                                    TIME        0.000000            2.000000
                                    CPCT        40.00000            0.000000

选择Lingo|Range输出

 Ranges in which the basis is unchanged:

                                       Objective Coefficient Ranges:

                                        Current        Allowable        Allowable
                      Variable      Coefficient         Increase         Decrease
                            X1         72.00000         24.00000         8.000000
                            X2         64.00000         8.000000         16.00000

                                           Righthand Side Ranges:

                                        Current        Allowable        Allowable
                           Row              RHS         Increase         Decrease
                          MILK         50.00000         10.00000         6.666667
                          TIME         480.0000         53.33333         80.00000
                          CPCT         100.0000         INFINITY         40.00000