《数学模型》 第4章 数学规划模型
第4章 数学规划模型
上一章介绍优化模型,\(x\)表示决策变量,\(f(x)\)表示目标函数,\(x\)的取值范围为可行域\(\Omega\),优化模型即
\[\min(\max)f(x),x\in \Omega
\]
实际中变量通常有多个,用\(n\)维向量
\[\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T
\]
目标函数\(f(\boldsymbol{x}))\)是多元函数,可行域比较复杂,常用一组不等式\(g_i(\boldsymbol{x})\leqslant 0(i=1,2,\cdots,m)\)来界定,称为约束条件。即
\[\min_x z=f(\boldsymbol{x})\quad s.t. \quad g_i(\boldsymbol{x})\leqslant 0,i=1,2,\cdots,m
\]
4.1 奶制品的生产与销售
问题分析
优化目标:每天获利最大
决策:生产计划,每天多少桶牛奶生产\(A_1\),多少桶生产\(A_2\)
决策变量受到3个条件的限制:原料供应、劳动时间、甲类设备的加工能力
基本模型
\[\max z=72x_1+64x_2\\
\begin{align}s.t. \quad &x_1+x_2\leqslant 50\\
&12x_1+8x_2\leqslant 480\\
&3x_1\leqslant 100\\
&x_1\geqslant 0,x_2\geqslant 0
\end{align}\]
模型分析与假设
从比例性、可加性、连续性考虑
模型求解
图解法和软件实现
Lingo代码
model:
max=72*x1+64*x2;
[milk] x1+x2<50;
[time] 12*x1+8*x2<480;
[cpct] 3*x1<100;
end
选择Lingo|Solve输出结果
Global optimal solution found.全局最优解
Objective value: 3360.000目标值
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 2迭代次数
Elapsed runtime seconds: 0.06运行时间
Model Class: LP线性规划
Total variables: 2变量个数
Nonlinear variables: 0非线性变量个数
Integer variables: 0整数变量个数
Total constraints: 4总约束
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 7非零值
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 20.00000 0.000000
X2 30.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 3360.000 1.000000
MILK 0.000000 48.00000
TIME 0.000000 2.000000
CPCT 40.00000 0.000000
选择Lingo|Range输出
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges:
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 72.00000 24.00000 8.000000
X2 64.00000 8.000000 16.00000
Righthand Side Ranges:
Current Allowable Allowable
Row RHS Increase Decrease
MILK 50.00000 10.00000 6.666667
TIME 480.0000 53.33333 80.00000
CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000
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