《数学模型》 第3章 简单的优化模型

第3章 简单的优化模型

3.1 存贮模型

不允许缺货的存贮模型

日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元
生产能力远大于需求，不允许缺货
安排多少天生产一次？每次产量多少？使得平均每天总费用最小

问题分析

建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系

模型假设

考虑连续模型，设生产周期为\(T\)，产量为\(Q\)均为连续量
1.产品每天的需求量为常数r
2.每次生产准备费为\(c_1\)，每天没件产品贮存费为\(c_2\)
3.生产能力为无限大(相对于需求量)，当贮存量降到0时，Q件产品立即生产出来供应需求，即不允许断货

模型建立

\[Q=rT \]

\[\bar{C}=c_1+c_2\frac{QT}{2}=c_1+c_2\frac{rT^2}{2} \]

\[C(T)=\bar{C}/T=c_1/T+c_2r\frac{T}{2} \]

上式即目标函数

模型求解

求\(T\)使得（3）最小

\[T=\sqrt{\frac{2c_1}{c_2r}} \]

代入（1）得到

\[Q=\sqrt{\frac{2c_1r}{c_2}} \]

所以（3）式最小费用

\[C=\sqrt{2c_1c_2r} \]

(4)(5)式为经济学中的经济订货批量公式（EOQ公式）

结果解释

\(c_1\)增加，生产周期和产量都变大
\(c_2\)增加，生产周期和产量都变小
\(r\)增加，生产周期变小而产量变大

敏感性分析

讨论参数\(c_1,c_2,r有微小变化时对生产周期\)T\(的影响\)

\[S(T,c_1)=\frac{1}{2},S(T,c_2)=-\frac{1}{2},S(T,r)=-\frac{1}{2} \]

允许缺货的存贮模型

模型假设

不允许缺货模型的假设1，2不变，假设3修改为：
3a.生产能力为无限大(相对于需求量)，允许缺货，每天每件产品缺货损失费为\(c_3\)，但缺货数量需在下次生产(或订单)时补足.

模型建立

因存贮量不足造成缺货时，可认为贮存量函数\(q(t)\)为负值，周期仍记作\(T\),\(Q\)是每周期初的贮存量，当\(t=T_1\)时\(q(t)=0\)，于是

\[Q=rT_1 \]

一个周期的总费用为

\[\bar{C}=c_1+\frac{1}{2}c_2QT_1+\frac{1}{2}c_3r(T-T_1)^2 \]

利用\(Q=rT_1\)消去\(T_1\),将模型的目标函数——每天的平均费用——记作\(T\)和\(Q\)的二元函数

\[C(T,Q)=\frac{c_1}{T}+\frac{c_2Q^2}{2rT}+\frac{c_3(rT-Q)^2}{2rT} \]

模型求解

二元函数求极值

>> syms c1 c2 c3 r Q T postive;
>> C(T,Q)=c1/T+c2*Q^2/(2*r*T)+c3*(r*T-Q)^2/(2*r*T);
>> [a b]=solve(diff(C,T),diff(C,Q),[T,Q])

\[T'=\sqrt{\frac{2c_1}{c_2r}\frac{c_2+c_3}{c_3}},Q'=\sqrt{\frac{2c_1r}{c_2}\frac{c_3}{c_2+c_3}},R=rT'=\sqrt{\frac{2c_1r}{c_2}\frac{c_2+c_3}{c_3}} \]

若计\(\lambda =\sqrt{\frac{c_2+c_3}{c_3}}\)，那么

\[T'=\lambda T,Q'=\frac{Q}{\lambda},R=\lambda Q \]

结果解释

\(c_3\)越小，\(\lambda\)越大，\(T'\)越大，\(Q'\)越小，\(R\)越大