《数学模型》 第2章 初等模型
第2章 初等模型
2.1 双层玻璃的功效
模型假设
- 热量只传导
- 室内\(T_1\)，室外\(T_2\)，热传导过程处于稳定状态
- 玻璃材料均匀，热传导系数是常数
模型构成
物理表达式：
\[Q=k\frac{\Delta T}{d}\tag{1}
\]
设双层玻璃内层玻璃外侧的温度为\(T_a\)，外层玻璃的内侧温度是\(T_b\)
玻璃、空气热传导系数分别为\(k_2,k_2\)
因为各部分单位时间单位面积热量传导相同
\[Q_1=k_1\frac{T_1-T_a}{d}=k_2\frac{T_a-T_b}{l}=k_1\frac{T_b-T_2}{d}\tag{2}
\]
解得
\[Q_1=\frac{k_1(T_1-T_2)}{d(s+2)},s=h\frac{k_1}{k_2},h=\frac{l}{d}\tag{3}
\]
厚度为\(2d\)的玻璃热量传导
\[Q_2=k_1\frac{T_1-T_2}{2d}\tag{4}
\]
二者比值
\[\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{2}{s+2}\tag{5}
\]
查阅资料得到\(k_1=4\times 10^{-3}\sim 8\times 10^{-3}J/(cm\cdot s\cdot K)\)
干燥的空气\(k_2=2.5\times 10^{-4}J/(cm\cdot s\cdot K)\),得到
\[\frac{k_1}{k_2}=16\sim 32
\]
作保守估计\(k_1/k_2=16\)，得到
\[\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{1}{8h+1},h=\frac{l}{d}
\]
模型应用
通常取\(h=l/d=4\)
