JTX-0730

题目

GeoGebra作图

证明

看辅助线有点复杂，首先看点是怎么产生的

注：这是一种思路，做题时部分点产生的顺序可以交换

• 题目定义的点有\(A、B、C、K、T\)
• 三个圆心：\(S\)（题中内切圆）、 \(I_A\) （旁心）、\(O\)（外心），忽略图中的内心\(I\)
• M、N是弧BC的平分点
• TN交圆S于K''
• 可以知道K是 \(\odot I_A\) 在 BC上的切点

然后将图中所画的线段连接起来

\(\odot O\) 和 \(\odot S\) 关于T点位似，N和\(K''\)是对应点，所以\(K''\)是优弧KC的平分点；O和S是对应点， O、S、T三点共线；

\(\odot I_A\) 和 \(\odot S\) 关于A点位似，于是K、K''为对应点，A、K、K''三点共线；

这样就有了三条垂直于BC的线段： \(I_AK 、 NM 、 SK''\) ，三者相互平行；

证明 AK''ST 四点共圆：\(\angle K''TA=\angle NTA=\angle NMA=K''SA\)

然后 \(SK''=\odot S半径=ST\) ，等弦（等弧）对等角， AM 平分 \(\angle KAT\)

又 AM 是 \(\angle BAC\) 角平分线，所以 \(\angle BAK=\angle TAC\)

加上 \(\angle ABK=\angle ATC\) 即证 \(\triangle ABK\sim \triangle ATC\)

--------------------分割线------------------------
有了这些就可以证明 TK'' 和 AS 的交点 I 为 \(\triangle ABC\) 的内心 ：

\(\triangle ATI\sim \triangle AI_AK\Rightarrow AI\cdot AI_A=AK\cdot AT=AB\cdot AC\)

最后一个等号来自上题相似。