计算几何学习笔记
转自：http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/10049551
这两天在学习计算几何，随便说说自己的学习过程吧。
基本的叉积、点积和凸包等东西就不多说什么了，网上一搜一大堆，切一些题目基本熟悉了就差不多了。
一些基本的题目可以自己搜索，比如这个blog：http://blog.sina.com.cn/s/blog_49c5866c0100f3om.html
接下来，研究了半平面交，思想方法看07年朱泽园的国家队论文，模板代码参考自我校大牛韬哥：
http://www.owent.net/2010/10/acm-%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-%E4%B8%AA%E4%BA%BA%E6%A8%A1%E6%9D%BF.html
一些半平面交的题目：
POJ 3335 Rotating Scoreboard
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3335
POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are!
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3130
POJ 1474 Video Surveillance
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1474
知识点：半平面交求多边形的核，存在性判断
POJ 1279 Art Gallery
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1279
半平面交求多边形的核，求核的面积
POJ 3525 Most Distant Point from the Sea （推荐）
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3525
给出一个多边形，求里面的一个点，其距离离多边形的边界最远，也就是多边形中最大半径圆。
解法：可以使用半平面交+二分法解。二分这个距离，边向内逼近，直到达到精度。
POJ 3384 Feng Shui （推荐）
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3384
半平面交实际应用，用两个圆覆盖一个多边形，问最多能覆盖多边形的面积。
解法：用半平面交将多边形的每条边一起向“内”推进R，得到新的多边形，然后求多边形的最远两点。
POJ 1755 Triathlon （推荐）
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1755
半平面交判断不等式是否有解。注意不等式在转化时正负号的选择，这直接影响到半平面交的方向。
POJ 2540 Hotter Colder
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2540
半平面交求线性规划可行区域的面积。
POJ 2451 Uyuw’s Concert
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2451
Zzy专为他那篇nlogn算法解决半平面交问题的论文而出的题目。
(以上题目来自别人的blog，后面还有几题是我自己找到的)
POJ 1271 Nice Milk
http://poj.org/problem?id=1271
黑书习题
UVA 11722 Joining with Friend
http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=117&page=show_problem&problem=2769
概率问题，这个规模用半平面交有点浪费，不过就当练习了
USACO 2010 MARCH GOLD StarCowraft
http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1829
接下来稍微弄了一下坐标旋转的问题，具体可以参考武汉大牛的博文http://dumbear.com/blog/?p=143
坐标旋转题目切得不多
HDU 1700 Points on Cycle
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1700
比较基础的一道题
POJ 3845 Fractal
http://poj.org/problem?id=3845
注意eps的取值
POJ 1133 Stars
http://poj.org/problem?id=1133
Harbin Online Contest 2010
http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16
三维坐标旋转。这个要有账号才能提交，还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270”
HDU 3623 Covering Points (2010天津网络赛C题)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3623 (航电没有这题了)
http://acm.tju.edu.cn/toj/showp3740.html
FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional)
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002
HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087
三维旋转矩阵 + 矩阵加速
然后是旋转卡壳，一个很好的学习网站http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/rotcal.html（不过是英文的），后来找到一个大牛的blog里有部分翻译http://blog.csdn.net/ACMaker，综合起来看了一下，收益良多啊。
一些旋转卡壳的题目
POJ 2187 Beauty Contest
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2187
凸包求最远点对。可以暴力枚举，也可以使用旋转卡壳。
POJ 3608 Bridge Across Islands
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3608
两个凸包的最近距离。
上面两题可以参考blog：http://www.cppblog.com/staryjy/archive/2009/11/19/101412.html（上面代码很不错）
POJ 2079 Triangle
http://poj.org/problem?id=2079
这题以为O(N^2)的复杂度会超时，结果就是O(N^2)复杂度
UVA 10173
http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=13&problem=1114&mosmsg=Submission+received+with+ID+8029560
给定点集S,求S的最小覆盖矩形
然后看了一些扫描线之类的东西。
推荐几道比不错的题目：
POJ 2932 Coneology
http://poj.org/problem?id=2932
HDU 3124 Moonmist
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3124
最近圆对问题（二分 + 扫描线）
HDU 3867 Light and Shadow
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3867
(按极角扫描)注意-PI和PI的位置分割
下面看了一些随机算法：（08年顾研论文-《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》）
（1）随机增量法：这个算法很犀利啊，把一些计算几何的问题降了一个n复杂度。（典型的有最小圆覆盖）
网上找了最小圆覆盖的随机增量算法，里面代码倒是不错，就是解释的不是很清楚，推荐看《计算几何算法与应用(第3版)》（邓俊辉译，清华大学出版社出版）中第91页“4.7最小包围圆”这个章节中的内容，比较详细也很清楚，代码我参考了这个blog的http://blog.csdn.net/pvpishard/archive/2011/01/27/6167262.aspx
（2）模拟退火：参考顾研论文
模拟退火的题目：
POJ 1379 Run Away
http://poj.org/problem?id=1379
POJ 2420 A Star not a Tree?
http://poj.org/problem?id=2420
URAL 1520 Empire Strikes Back（推荐）
http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1520
顾研论文例题，不错的题目
POJ 2069 Super Star
http://poj.org/problem?id=2069
此题我WA和TLE了很多次
POJ 3301 Texas Trip
http://poj.org/problem?id=3301
这题也可以用三分
SPOJ 4409 Circle vs Triangle
https://www.spoj.pl/problems/AREA1/
模拟退火 + 解析几何
POJ 3285 Point of view in Flatland
http://poj.org/problem?id=3285
这题的难点在于找到合适的评估函数，当然这题也可以通过解方程组来做
POJ 2600 Geometrical dreams
http://poj.org/problem?id=2600
这题不是模拟退火的题，但是可以用模拟退火过。非模拟退火的方法也不难
解析几何，平面最近点对，。。。这些搞得也不是很深入。
折纸问题 参见大牛dumbear的blog http://dumbear.com/blog/?p=249
两道题目
POJ 1921 Paper Cut
http://poj.org/problem?id=1921
这题相对下一题还算比较好做
POJ 3806 Origami Through-Hole
http://poj.org/problem?id=3806
这题处理有点麻烦，我调试了很久才过
圆的面积并和交，详细可以看AekdyCoin大牛的blog
圆的面积并：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/c1b28e3711246b3f0b55a95e.html
圆的面积交：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html
题目：
SPOJ 8073 The area of the union of circles
https://www.spoj.pl/problems/CIRU/
SPOJ 3863 Area of circles
https://www.spoj.pl/problems/VCIRCLES/
SPOJ 8119 CIRU2
https://www.spoj.pl/problems/CIRUT/
圆面积并的拓展
HDU 3467 Song of the Siren
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3467
HDU 3239 Jiajia’s Robot (推荐)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3239
很巧妙的一道题，我是看了AC大牛blog中的留言才知道到方法的。
方法见AC大牛blog中的一条留言：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html
凸多边形的面积并
先看了AC大牛的blog学会了O(N^3)的方法，后来在做Codeforces的时候发现有O(N^2*logN)的方法，而且也不繁琐
AC大牛的博文：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/fbe5a03232c71952ad4b5fcc.html
Codeforces Round #83 DIV1 的 E题用O(N^3)的方法过不掉第49组数据，然后研究了其他大牛的凸多边形交的代码
http://codeforces.com/contest/107/status/E
先是看了dagon的代码发现其实他的代码有问题，Codeforces的数据居然没有查出来。然后看了syntax_error的代码，
发现他是用类似梯形剖分的方法做的，复杂度O(N^2*logN)，果断就学习了
题目：http://codeforces.com/contest/107/problem/E
有关细节：http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/10/17/2215551.html
有一类题目是给出一些点，并告诉你哪些点之间有连线，并且这些连线段之间除端点之外没有其他交点（有时候这些线段是要自己处理出来的）。
然后题目要你求
1 每小块多边形的面积
2 有多少个K多边形内部不含点和线段
3 这些线段围成的图形的轮廓线
这类题目的方法都差不多，在很多大牛的blog里都可以找到类似的方法。
比如： gccfeli大牛的blog：http://gccfeli.cn/2007/09/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-pku1092-%E5%A5%87%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%8A%80%E5%B7%A7.html
watashi大牛的blog：http://watashi.ws/blog/970/andrew-stankevich-3-solution/
Isun大牛的blog：http://hi.baidu.com/xh176233756/blog/item/29652646f0e870006a63e5cb.html
题目：
POJ 1092 Farmland
http://poj.org/problem?id=1092
ZOJ 2361 Areas / SGU 209
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2361
不错的一题，watashi的blog里有解题报告
POJ 3743 LL’s cake
http://poj.org/problem?id=3743
POJ 2164 Find the Border
http://poj.org/problem?id=2164
三维几何
网上有关三维几何的内容很少阿，代码和题目基本都不怎么能搜到，我也就切了不多的几题
前面坐标旋转里的两到题：
Harbin Online Contest 2010
http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16
三维坐标旋转。这个要有账号才能提交，还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270”
FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional)
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002
SGU 110 Dungeon
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=110
三维光线反射
FZU 1981 Three kingdoms (2010福州网络赛)
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1981
坐标映射，我一开始用map一直TLE，只好改成不用map的代码
UVA 11275 3D Triangles
http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2250
HDU 4042是这题的加强版，我使用同样的代码AC的
对于这题题目中诡异的精度0.000001我并没有特别处理
HDU 4042 Fireworks (2011北京网络赛)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4042
很不错的题目 (解题报告：http://hi.baidu.com/%D0%A1%CE%E4rj/blog/item/0114bb2dcd4cdef78b13991d.html)
HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087
三维旋转矩阵 + 矩阵加速
其他一些题目：
EOJ 283 Target Practice
http://202.120.106.94/onlinejudge/problemshow.php?pro_id=283
搜索 + 几何
POJ 1688 Dolphin Pool
http://poj.org/problem?id=1688
这题有好几种做法
POJ 1981 Circle and Points
http://poj.org/problem?id=1981
很经典的一道题目
POJ 3675 Telescope
http://poj.org/problem?id=3675
圆和多边形的公共面积
POJ 1259 The Picnic
http://poj.org/problem?id=1259
最大凸洞，计算几何 + DP
POJ 1586 Three Sides Make a Triangle
http://poj.org/problem?id=1586
题目内容很简单，方法也很明显，不过想AC可不容易，精度很恶心的一题，我是看了discuss才过的
HDU 3629 Convex （推荐）
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3629
一道不错的题目，这题有两种思路：
1)http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/TCO%2710+Online+Round+4
2)http://www.owent.net/2010/09/the-35th-acmicpc-asia-regional-tianjin-site-%E2%80%94%E2%80%94-online-contest-1009-convex-%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%8A%A5%E5%91%8A.html
HDU 3644 A Chocolate Manufacturer’s Problem (2010杭州网络赛)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3644
本来想用模拟退火水一下的，结果徘徊于WA和TLE之间无法AC
FZU 1973 How many stars (推荐) (2010福州网络赛)
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1973
比较经典的一道题目
POI2007 对称轴osi
http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=1100
很犀利的一道题目，题意是判多边形的对称轴个数，原来做的这种题目都是用O(N^2)的复杂度来解的，
这次O(N^2)果断不行，加随机化也过不了，最后在解题报告的指导下才搞定这题。第一次发现计算几何
的问题居然还能用字符串的方法解。
网上搜到的解题报告：http://hi.baidu.com/nplusnplusnplu/blog/item/d260baef2e9e9c5879f055cb.html
下次再搞计算几何的时候会更加深入一些。
