初学积性函数

参考博客:①:http://jcvb.is-programmer.com/posts/41846.html  ②:http://zhengyidong.me/2014/11/%E7%A7%AF%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%B3%BB%E5%88%97%EF%BC%88%E4%B8%80%EF%BC%89%EF%BC%9A%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0/

一、

(一)

首先是积性函数的定义:

 

定义在正整数集(自变量n ∈ Z*)上的函数  f(n) (称为算术函数),若  gcd(a,b)=  1  (a,b的最大公约数为1,也就是说a,b互为质数)时有(若)  f(a)f(b)=  f(ab,则(那么)f(x)称为积性函数。

 

然后有一个显然的性质:(非恒等于零的)(保证这个函数不会恒等于零,那么这个)积性函数  f(n)必然满足  f(1)=  1

 

(二)

定义逐点加法(规定,只是一个定义):( f + g ) ( x )  =  f ( x ) + g ( x )  ,  ( f · g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) ;

也就是说另(设)( f + g ) ( x )  =  f ( x ) + g ( x )  ,  ( f · g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) 这么两个式子成立。(不必深究,自己去搜证明)

 

又一个比较显然的性质(根据逐点加法):若  f  ,g( f( x )和 g( x ))均为积性函数,则 f  · g ( f( x )· g( x ))也是积性函数。

 

(三)

有用的:https://wenda.so.com/q/1435082634723576?src=150     https://baike.so.com/doc/6700501-6914434.html

 

积性函数的求值: n = ∏piai    ,则 f(n) = ∏f(piai),所以只要解决 n = pa 时 f(n)的值即可(看两个式子的区别,悟)。

 

 (四)

完全积性函数:

    完全积性函数是指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

  对于整数n的一个数论函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b),在数论上就称它为积性函数。(上边定义)

  若对于某积性函数 f(n)(已经是积性函数) ,就算a, b不互质,也有f(ab)=f(a)f(b),则称它为完全积性的。

(五)

  进一步理解:

  很容易发现一些常见函数 f( n )= 1 ,f( n )= n ,f( n )= n * n 等都是积性函数。

  事实上所有的幂函数都是积性函数。

二、

(一)

一些性质:
  交换律 f * g = g * f ,
  结合律( f * g ) * h = f * ( g * h ) ,
  对逐点加法的分配律 f * ( g + h ) = f * g + f * h ;

重要性质①:

    若 f,g 均为积性函数,则 f * g也是积性函数。(展开式子即可证明)
  n的约数(短除,整除数)个数d(n)可以写成 d( n )= (1 * 1 )( n );约数和σ(n);

可以写成σ (n) = (1 * id) (n)

 

由上面的性质可知(也就是说如果有一个函数f(x),如果f(x)=(a*b)(c*d)……(共有x的所有除数个“()”))

  那么这两个函数均是积性函数。

 

 

重要性质②:    

     ,即1*μ=e。(可用二项式定理证明);

重要性质③:

    ,即1*φ=id。(n是质数时显然成立,再由积性得证);

感性理解。

 

 

 

posted @ 2018-04-26 20:48  孟东行#  阅读(358)  评论(0编辑  收藏  举报