两个互质的数不能凑出来的数证明

当正整数A与B互质时，用A和B表示不出的最大数为A*B-A-B。

证明：

两个互质的数A、B（无论是否相差为1），最小公倍数为AB。

设a(n)为使式子a(n)B mod A = n成立的最小正整数，

其中n从1到A-1。可以证明，0<a(n)<A。

显然a(n)不可能为A的倍数。

如果a(n)>A，则有a(n)B mod A = (a(n)-A)B mod A = n，

：即a(n)-A也是使以上式子成立的正整数，但显然比a(n)小，

因此不是最小正整数。所以a(n)<A。

令n从1到A-1，由于所有的a(n)都小于A且显然各不相同

不可能同一个数除以A能得到两个不同的余数），

所以a(1)到a(A-1)就是1到A-1的一个排列。

这时，我们考察所有大于AB数X，

X=AB+mA+n，n为X除以A的余数。

我们先用B个A表示AB，m个A表示mA。

这时我们将把其中一些A换成B，使得余数n消失。

由上面的式子，a(n)B = pA + n，因此，可以用a(n)个B替换掉p个A。

而显然这时，pA=a(n)B-n<AB，即p<B，因此有足够的A被替换掉。

就是说，凡是大于AB的数都可以用A与B表示。

设A>B

进一步考察X小于AB但大于AB-A时的情况。

此时X=(B-1)A+n，n为X除以A的余数

先用B-1个A凑成(B-1)A。

然后我们将把其中一些A换成B，使得余数n消失。

由上面的式子，a(n)B = pA + n，因此，可以用a(n)个B替换掉p个A。

而显然这时，pA=a(n)B-n<AB，即p<B，因此有足够的A（B-1个足够了）被替换掉。

因此，AB-A到AB之间的数可以用A、B表示。

又显然AB-A是A的倍数，可以用A表示。

由于a(n)>0，而小于AB且大于AB-A的数都可以用若干个A及至少1个B表示出来，

因此将这些数都减掉一个B也能表示出来。

即大于AB-A-B但小于AB-B的数都用A、B表示得出来。

又由于A>B，所以AB-B>AB-A，即大于AB-A-B但小于AB-A的数都能表示出来。

也就是说凡大于AB-A-B的数都能表示出来。

假设AB-A-B可以用A和B表示，即AB-A-B=mA+nB，

移项可得(B-m-1)*A=(n+1)*B，而n+1>0，

也就是说等式两边不为0。

根据n+1<=A且A、B互质，只能有A=n+1，B-m-1=B，得出m=-1，

与前提矛盾。

所以，AB-A-B无法用A、B表示。