3*n/2 - 2

求区间范围最小值最大值　　
　　用分治法(Divide and Conquer)求n元数组最小元与最大元，当n=1时，不用比较，最大元和最小元都是这个数；当n=2时，一次比较就可以找出两个数据元素的最大元和最小元；当n>2时，可以把n个数据元素分为大致相等的两半，一半有n/2个数据元素，而另一半有n/2个数据元素。先分别找出各自组中的最大元和最小元，然后将两个最大元进行比较，就可得n个元素的最大元；将两个最小元进行比较，就可得n个元素的最小元。

　　在规模为n的数据元素集合中找出最大元和最小元， 至少需要3n/2-2次比较，即3n/2-2是找最大最小元算法的下界。当n=2k,或当n≠2k时，若n是若干2的整数幂之和，则算法的时间复杂度仍可达到下界3n/2-2。

a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。
b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。

 

解答：
a.同时求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。

算法 minmax_element(A[l..r], min, max)
// 该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值
// 输入：数值数组A[l..r]
// 输出：最小值min和最大值max

if(r<0) return;      // 空数组，没有最大最小元
if(r==0) max=min=A[0]; // 只有一个元素时
if(r==1) {min=A[0]<=A[1]?A[0]:A[1]; max=A[0]<=A[1]?A[1]:A[0];}  // 有两元素时
else
{  
　　m=int((l+r)/2);   // 去中间值，把数组分成两个部分
　　minmax_element(l, m, fMin, fMax);   // 递归解决前一部分
　　minmax_element(m+1, r, sMin, sMax); // 递归解决后一部分
　　max= std::max(fMax, sMax); // 从两部分的两个最大值中选择大值
　　min= std::min(fMin, sMin); // 从两部分的两个最小值中选择小值
}

 

为了数据类型一般话，我们采用 C++ 的模板。将最小最大数对存储在 std::pair 类型中。

template<class ForwardIt, class Compare>
std::pair<ForwardIt, ForwardIt> minmax_element(ForwardIt first, ForwardIt last, Compare comp)
{
    std::pair<ForwardIt, ForwardIt> result(first, first);

    if(first == last) return result;
    if(++first == last) return result;

    if(comp(*first, *result.first))
        result.first = first;
    else
        result.second = first;

    while(++first != last)
    {
        ForwardIt i = first;
　　　　    if(++first == last)
　　　　    {
            if(comp(*i, *result.first))
                result.first = i;
            else if (!(comp(*i, *result.second)))
                result.second = i;
            break;
        }
        else
        {
            if(comp(*first, *i))
            {
                if(comp(*first, *result.first))
                    result.first = first;
                if(!(comp(*i, *result.second)))
                    result.second = i;
            }
            else
            {
                if(comp(*i, *result.first))
                    result.first = i;
                if(!(comp(*first, *result.second)))
                    result.second = first;
            }
        }
    }
    return result;
}

 

时间复杂度为：
t(n)=2*t(n/2)+2 n>2
t(1)=0 t(2)=1
设n=2^k，则n/2=2^(k-1)
t(n)=t(2^k)=2*t[2^(k-1)]+2
=2[2*t(2^(k-2))+2]+2
=2^2*t[2^(k-2))]+2^2+2
=2^2[2*t[2^(k-3)]+2]+2^2+2
=2^3*t[2^(k-3)]+2^3+2^2+2
=...
=2^(k-1)*t(2)+2^(k-1)+2^(k-2)+...+2   // t(2)=1
=2^(k-1)+2^(k-1)+2^(k-2)+...+2 // 后面部分为等比数列求和
=2^(k-1)+2^k-2    // 2^(k-1)=n/2, 2^k=n
=n/2+n-2
=3*n/2-2

 

b.蛮力法的算法如下：

算法 simple_minmax(A[0..n])
// 用蛮力法得到数组A的最大值和最小值
// 输入：数值数组A[l..r]
// 输出：最小值min和最大值max

max=min=A[0];
for(i=0; i<n; ++i)
{
　　if(A[i]>max) max=A[i];
　　if(A[i]<min) min=A[i];
}

蛮力算法的时间复杂度t(n)=2*(n-1)

C++ 的头文件 <algorithm>包含了上面两种算法。
3*n/2-2 对应 std::minmax_element
2*(n-1) 对应 std::min_element + std::max_element

算法 minmax_element 的时间复杂度为3*n/2-2，simple_minmax 的时间复杂度为2n-2，都属于Θ(n)复杂度。
但比较可得，minmax_element 减少了不必要的比较，速度上比 simple_minmax 的快一些。