谈谈手性碳原子

前言

本人是退役信竞生，不是化竞生，并且水平极其有限，没有接受过专业训练，所以很多用语措辞不标准，且高二生时间有限，撰文仓促，恳请包涵。

问题引入

众所周知，碳原子在四个键都是单键的时候，采取 $sp^3$ 杂化，空间结构是四面体。

根据化学书的定义，如果这四个键连接不同的基团，那么称这样的碳原子为手性碳原子。因为它有两种手性异构，分别镜面对称，不能重叠。

这引发了我们的思考，为什么手性只在四个基团不同的情况下存在呢？下文对此进行了分析，并给出了一个简单的个数统计的定量计算。

形式化描述

事实上，不难转化出，这个问题是在说，有一个正四面体，四个顶点有标号，我们可以绕其中一条高将这个四面体旋转，求在这个旋转作用下的本质不同的排列数。

我们可以将问题拍平成在排列上的情况：有一个 $n=4$ 的排列，我们可以任取其中三个值进行轮换。求在轮换作用下本质不同的排列数。

先直接上结论：三元轮换下的序列，逆序对数的奇偶性不会变化，因此存在本质不同。

推导

1. 三元轮换复合上三元轮换，有三种情况，第一种是两次轮换都选择同样的三个，这样还是一个三元轮换。其他两种如下图：黑色环为第一个，红色环为第二个。一得到三元轮换，二得到两两对换。

2. 两两对换复合上三元轮换，得到三元轮换。如图。

综上我们得到，三元轮换下，$n=4$ 的排列的可能情况只有 $12$ 种：$1$ 种恒等变换，$8=2 * \binom 4 3$ 种三元轮换，$3$ 种两两对换，而 $4!=24$ ，刚好占据了逆序对数为偶数的一半。

事实上两两对换可以看做将四面体补形为立方体后转 $180°$ 得到。

拓展

本人小学过一点群论，来现个丑。现在我们来探讨一个问题：有 $c$ 种颜色，每个基团/顶点可以随意选取一个颜色涂上，问一共有多少染色方式？考虑手性异构。

根据上面的推导，结合 $\text{Burnside}$ 引理，不难得到本质不同的染色数就是：

$$\frac{c^4+11c^2}{12}.$$

我们可以把它和不考虑手性异构的情况做一个对比。如果不考虑手性异构，那么实际上就是一个简单的排列组合问题，容易看出总的染色数应该是：

$$C_{c+3}^{c-1}=\binom{c+3}{c-1}=\frac{c(c+1)(c+2)(c+3)}{24}.$$

将两式作差，得到：

$$\frac{c^4+11c^2}{12}-\frac{c(c+1)(c+2)(c+3)}{24}=\frac{c(c-1)(c-2)(c-3)}{24}.$$

显然，在 $c=1,2,3$ 的时候，这个差值都是 $0$ ，也就是说不存在手性异构。然而当 $c=4$ 的时候，差值变成了 $1$ ，这就从另一个方面指出了手性异构的存在。

致谢

感谢 lh、ljl 同学和我的交流。
特别感谢 zym 同学和我的交流，他告诉了我从逆序对角度精确解释问题。