错排问题的通项公式

我们定义错排数 $d_n$ 为满足下条件的排列的数目：排列的长度为 $n$ 且不存在 $i$ 使得 $p_i=i$。在此避开对 $d_0$ 的讨论。它的递推式是 trivial 的：

$$d_n = (n-1)(d_{n-1}+d_{n-2}).(n>2)$$

并且显然有 $d_1 = 0, d_2 = 1$。

直接通过递推式求解通项公式是困难的（对笔者来说），《具体数学》中给出了另一个办法如下。

根据容斥原理，我们可以直接写出 $d_n$ 的表达式：

$$d_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)!$$

其中第 $k$ 项表示：从 $n$ 个位置中选出 $k$ 个，钦定它们排列正确；剩下 $(n-k)$ 个可以随便乱排；最后乘上容斥系数 $(-1)^k$。（个人习惯：用 $\binom{m}{n}$ 表示 $C_m^n$。）（当然，这个表达式也可以通过二项式反演得到。）

化简这个式子：

$$\begin{equation} \begin{split} d_n &= \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)! \\ &= n!\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} \\ \end{split} \end{equation}$$

观察后面的式子，可以联想到 $e^x$ 的 Maclaurin 展开式，即：

$$\begin{equation} e^x = \sum_{k \ge 0} \frac {x^k}{k!} \end{equation}$$

在 $(2)$ 式中取 $x=-1$ ，得到：

$$\begin{equation} e^{-1} = \sum_{k\ge 0} \frac{(-1)^k}{k!} \end{equation}$$

这与 $(1)$ 的形式类似，于是我们希望用 $(3)$ 来表示 $(1)$ 。这引导我们分析两个式子的差的大小：

$$\begin{equation} \begin{split} n!\sum_{k>n}\frac{(-1)^k}{k!} &= n!\sum_{k\ge 0} \frac{(-1)^{k+n+1}}{(k+n+1)!} \\ &= \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\sum_{k\ge 0}(-1)^k\frac{(n+1)!}{(k+n+1)!} \\ &= \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \left(1-\frac 1 {n+2}+ \frac 1 {(n+2)(n+3)} - \dotsm \right) \end{split} \end{equation}$$

括号中的量可以轻易地用裂项的方法得到：它介于 $1-\frac 1 {n+2} = \frac {n+1}{n+2}$ 和 $1$ 之间。于是， $n!/e$ 和 $d_n$ 的差大约是 $1/n$；更精确地，它介于 $1/(n+1)$ 和 $1/(n+2)$ 之间。

然而， $d_n$ 是一个整数。所以，如果 $n>0$，那么 $d_n$ 必定就是我们将 $n!/e$ 四舍五入之后的整数。而一个简单的表示四舍五入的方法是加上 $0.5$ 之后向下取整；于是，这样就求出了我们想要的封闭形式：

$$d_n = \lfloor \frac{n!}{e}+\frac 1 2 \rfloor.$$

然而，这个公式并没有很大的实用价值，因为一般情况下 $n!$ 的求值依然有着至少 $O(n)$ 的复杂度。