科技普及——任意二次除二次函数的极值点

事实上，这个问题的解是如此自然以至于只要你研究了就一定能得出美丽的结果。

前置知识

1. 基本的求导法则。（用于推导，如果不会可以直接跳到结论）
2. 二阶行列式的定义：

\[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc\]

问题引入

求 \(f(x)=\frac{Ax^2+Bx+C}{Dx^2+Ex+F}\) 的极值点。
其中，\(A,B,C,D,E,F\) 均为常数。

解决过程

一般问题采取一般方法——我们直接对它求导。

\[\begin{equation*} \begin{split} f'(x) &= \frac{(2Ax+B)(Dx^2+Ex+F)-(2Dx+E)(Ax^2+Bx+C)}{(Dx^2+Ex+F)^2} \\ &= \frac{(AE-BD)x^2+2(AF-CD)x+(BF-CE)}{(Dx^2+Ex+F)^2} \end{split} \end{equation*} \]

于是，极值点的横坐标就是方程

\[(AE-BD)x^2+2(AF-CD)x+(BF-CE)=0 \]

的根。

下一步我们对系数作一些观察。注意到：

\[AE-BD=\begin{vmatrix} A & B\\ D & E \end{vmatrix}, AF-CD=\begin{vmatrix} A & C\\ D & F \end{vmatrix},BF-CE=\begin{vmatrix} B & C\\ E & F \end{vmatrix}\]

所以，方程等价于

\[\begin{vmatrix} A & B\\ D & E \end{vmatrix}x^2+2\begin{vmatrix} A & C\\ D & F \end{vmatrix}x+\begin{vmatrix} B & C\\ E & F \end{vmatrix}=0\]

这其实是有规律的，我们在下一部分直接写出结论。

结论整理

一句话：函数 \(f(x)=\frac{Ax^2+Bx+C}{Dx^2+Ex+F}\) 的极值点等价于方程：

\[\begin{vmatrix} 1 & -2x & x^{2}\\ A & B & C\\ D & E & F \end{vmatrix}=0\]

进一步解释：
想要快速写出这个方程，我们只需要这几步：

1. 把六个系数单独提出来并从左到右标号：

\[\begin{matrix} A & B & C\\ D & E & F\\ & & \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}\]

2. 对于标号第 \(k\) 的列（\(k=0,1,2\)），计算遮住当前列后剩下四个系数的行列式，并将其写在 \(k\) 次项系数处
3. 在一次项系数前乘 \(2\)。

注意事项

1. 计算出的根可能使分母 \(Dx^2+Ex+F=0\)，这代表函数值在此点趋于无穷。
2. 此方法并不是对于任意二次除二次的最佳方法，对于更简单的情况，适用更简单的方法。