线性基（Linear Basis）学习笔记

前言

我看网络上没有什么非常系统的教学，可能是我太菜了吧，现在才学，做个记录给自己看。

简略介绍

一个数集能两两异或，能表出许多新的数。

线性基是一个集合，能够在记录最少的数的基础上，表示出一个等价的异或集合。+

常用来解决最大异或子集问题。

下文假设 $L$ 为值域最大值在二进制下的位数。

构造方法 & 解决问题

插入

bool insert(ll val) {
	fd(i, L, 0)
		if (val >> i & 1)) {
			if (!b[i]) { // b[i] 是记录线性基的数组
				b[i] = val;
				break;
			}
			val ^= b[i];
		}
	return val;
}

如果说 $\text{val}$ 能被表出，那么它一定会在最后变成 $0$ 。否则，我们认定下标 $i$ 的位置放置的数的二进制下第 $i$ 位一定是 $1$。并将它插入。

不难发现，一个插入的数被填进第 $i$ 位时，其更高位一定被全部异或 $0$ ，故 $i$ 是它的最高位 $1$ 的位置。记住这个性质，会在下面使用。

插入一个数复杂度是 $O(L)$ 的。

最大异或子集

根据上面的性质，我们从高位贪心地考虑，希望能够尽量让高位的 $1$ 能够出现。

ll mx() {
    ll ret=0;
    fd(i, L, 0)
        if((ret ^ b[i]) > ret)
            ret ^= b[i];
    return ret;
}

$O(L)$。

合并两个线性基

直接把一个线性基中的元素插入另一个，$O(L^2)$ 。

求第 $k$ 小能被表出元素

我们改造这个线性基，使得每一位相互独立。类似高斯消元。从低位到高位消。

void rebuild() {
	fo(i, 1, L)
		fo(j, 1, i)
			if(d[i] >> (j - 1) & 1)
                d[i] ^= d[j - 1];
}
ll k_th(ll k) {
    // 如果算上零的话需要有特判
	if(k == 1 && tot < n)	return 0;//特判一下，假如k=1，并且原来的序列可以异或出0，就要返回0，tot表示线性基中的元素个数，n表示序列长度
	if(tot < n)	--k;//类似上面，去掉0的情况，因为线性基中只能异或出不为0的解
	// 记得先 rebuild
	ll ret = 0;
	fo(i, 1, L)
        if(d[i]) {
            if(k & 1)	ret ^= d[i];
            k >>= 1;
        }
   	return ret;
}

顺便一提，实际上 $\text{rebuild}$ 之后的线性基是完全等价的，可以正常做其他操作。

删除

在线的做法太复杂了一般不考不是很优美，直接说离线吧。

在线性基的每一个位置维护一个最晚插入时间 $l_i$ ，那么插入的时候

void insert(ll v, int t) {
	fd(i, L, 0)
		if(v >> i & 1) {
			if(!b[i]) {
				b[i] = v, l[i] = t;
				break;
			}
			else if(l[i] < t)	swap(l[i], t), swap(b[i], v), v ^= b[i];
			else	v ^= b[i];
		}
}

在查询的时候只需要看 $t \ge t_0$ 的位置就好了。
并且这样子实际上我们是实现了一个可持久化的东西！然后就可以搞事情了。