Dijkstra基本内容

dijkstra

众所周知，Dijkstra算法是一个十分有效且常用的算法。既然说了：

• 有效且常用

那我们就有学习的必要了呀！

话不多说，开始讲解。

概念

1.是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。 Dijkstra 算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

2.Dijkstra 用来解决边权全为正的单源最短路问题， Dijkstra 算法又分为朴素 Dijkstra 算法和堆优化的 Dijkstra 算法。朴素版的 Dijkstra 算法的时间复杂度是 \(O(n²)\) ,适合于稠密图，堆优化版的 Dijkstra 算法的时间复杂度是 \(O(mlogn)\)，适合于稀疏图。

代码讲解

链式前向星

#define MOD 10000000007
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=2000005;
int n,m,s;
int idx=1,e[maxn],w[maxn],head[maxn],ne[maxn];
int dis[maxn],vis[maxn];

MOD和INF不做过多解释，重点看e,w,head和ne数组。

void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b;
	w[idx]=c;
	ne[idx]=head[a];
	head[a]=idx++;
}

这是一个简单的链式前向星，虽然有些奇怪的东西。

a是该点的位置，b是与该点相连的一点的位置，c则是边全
权。我们可以看到，e数组存储了一个点到另一个点的的终点，w存储了这两个点中边的边权，ne和head数组则是普通的链式前向星啦！

结构体

struct Node
{
	int dis,x;
	bool operator<(Node p)const{return dis>p.dis;}
	Node(int dis,int x):dis(dis),x(x){}
};

我们使用重载运算符 \(operator\) 重新定义 \(<\) 符号来对边权进行排序，方便我们接下来的操作。下面的一行可有可无，主要是装。

Dijkstra 主体

void dijstra()
{
   memset(dis,INF,sizeof(dis));
   priority_queue<Node>q;
   dis[s]=0;
   Node u(dis[s],s);
   q.push(u);
   while(!q.empty())
   {
		Node u=q.top();
		q.pop();
		if(vis[u.x])continue;
		vis[u.x]=1;
		for(int i=head[u.x];i!=-1;i=ne[i])
		{
			if(dis[e[i]]>dis[u.x]+w[i])
			{
				dis[e[i]]=dis[u.x]+w[i];
				Node v(dis[e[i]],e[i]);
				q.push(v);
			}
		}
	}
}

首先定义大根堆 \(priority__queue\) ，方便我们接下来的操作。其次，我们从 \(s\) 点出发，那距离 \(s\) 点的最短距离肯定是0，这就是 \(dis[s]=0\) 的原因。

跟图有关，那我们就得使出万能且高效的BFS。

如你所见，里面有一个BFS遍历。

while循环的前四行为基操，不做过多讲述，我们来看for循环。

for(int i=head[u.x],i!=-1;i=ne[i])//从头开始，循环到下一个点

从第x个点的链下标出发，向下一个点，也就是 \(ne[i]\) 前进，但由于我们标记了每一个点初始值为-1，所以还得判断一下。

if(dis[e[i]]>dis[u.x]+w[i])
{
    dis[e[i]]=dis[u.x]+w[i];
    Node v(dis[e[i]],e[i]);
    q.push(v);
}

这里我们做出判断，如果新路径的边权总和小于原路径边权总和，就改变最佳路径。

完整代码

这里附上完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 10000000007
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=2000005;
int n,m,s;
int idx=1,e[maxn],w[maxn],head[maxn],ne[maxn];
int dis[maxn],vis[maxn];
struct Node
{
	int dis,x;
	bool operator<(Node p)const{return dis>p.dis;}
	Node(int dis,int x):dis(dis),x(x){}
};

inline int read()
{
	int date=0,w=1;
	char c;
	c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9')
	{
		if(c=='-')w=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0' && c<='9')
	{
		date=date*10+(c-'0');
		c=getchar();
	}
	return date*w;
}

void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b;
	w[idx]=c;
	ne[idx]=head[a];
	head[a]=idx++;
}

void dijstra()
{
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	priority_queue<Node>q;
	dis[s]=0;
	Node u(dis[s],s);
	q.push(u);
	while(!q.empty())
	{
		Node u=q.top();
		q.pop();
		if(vis[u.x])continue;
		vis[u.x]=1;
		for(int i=head[u.x];i!=-1;i=ne[i])
		{
			if(dis[e[i]]>dis[u.x]+w[i])
			{
				dis[e[i]]=dis[u.x]+w[i];
				Node v(dis[e[i]],e[i]);
				q.push(v);
			}
		}
	}
}
signed main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	n=read(),m=read(),s=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int a=read(),b=read(),c=read();
		add(a,b,c);
	}
	dijstra();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<dis[i]<<" ";
	return 0;
}

例题