整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

1) 个位

从1到n，每增加1，weight就会加1，当weight加到9时，再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢？这取决于n的高位是多少，看图： 

以534为例，在从1增长到n的过程中，534的个位从0-9变化了53次，记为round。每一轮变化中，1在个位出现一次，所以一共出现了53次。 
再来看weight的值。weight为4，大于0，说明第54轮变化是从0-4，1又出现了1次。我们记1出现的次数为count，所以： count = round+1 = 53 + 1 = 54
如果此时weight为0（n=530），说明第54轮到0就停止了，那么： count = round = 53

 

2) 十位

对于10位来说，其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的，见图： 不同点在于：从1到n，每增加10，十位的weight才会增加1，所以，一轮0-9周期内，1会出现10次。即rount*10。 再来看weight的值。当此时weight为3，大于1，说明第6轮出现了10次1，则： count = round*10+10 = 5*10+10 = 60。如果此时weight的值等于0（n=504），说明第6轮到0就停止了，所以： count = round*10+10 = 5*10 = 50。如果此时weight的值等于1（n=514），那么第6轮中1出现了多少次呢？很明显，这与个位数的值有关，个位数为k，第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former，则： count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55

3) 更高位

更高位的计算方式其实与十位是一致的，不再阐述。

4) 总结

将n的各个位分为两类：个位与其它位。 

对个位来说：

若个位大于0，1出现的次数为round*1+1

若个位等于0，1出现的次数为round*1

对其它位来说，记每一位的权值为base，位值为weight，该位之前的数是former，举例如图： 则：若weight为0，则1出现次数为round*base。若weight为1，则1出现次数为round*base+former+1。若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base。比如：

534 = （个位1出现次数）+（十位1出现次数）+（百位1出现次数）=（53*1+1）+（5*10+10）+（0*100+100）= 214

 

 

 

int fun(int n) {
  if(n < 1)
    return 0;
  int count = 0;
  int base = 1;
  int round = n;
  while(round > 0) {
    int weight = round % 10;
    round /= 10;
    count += round * base;
    if(weight == 1)
      count += (n % base) + 1;
    else if(weight > 1)
      count += base;
    base *= 10;
  }
  return count;
}