从O(n^3) 到 O(n)求最大连续和

最大连续和问题：给出一个长度为n的序列A1， A2， A3，······ An，求最大连续和。或者这样理解：要求找到1≤i≤j≤n，使得Ai+ Ai+1 + ······ +Aj尽量大。

【分析】

    这时候最容易想到的就是暴力枚举了，，，

代码如下：

for(int i=1; i<=n; i++) {
    for(int j=i; j<=n; j++) {
        int sum = 0;
        for(int k=i; k<=j; k++)
            sum += val[k];
        //Max = Max>sum? Max:sum;
        if(sum > Max) { // 这里记录了下标， 若不需要的话可换成上面一句
            Max = sum;
            ii = i;
            jj = j;
        }
    }
}

很显然，这是一个O(N^3) 的算法，理论n的最大范围为1000，实际上约为1400左右。

怎么优化呢，让我们来想想这个算法：设Si = A1 + A2 + A3 + ······ + Ai，则Ai+1 + Ai+2 + ······ + Aj = Sj - Si-1

其含义就是“连续子序列之和等于两个前缀和之差”，我们很容易写出以下代码：

​memset(sum, 0, sizeof(sum));
for(int i=1; i<=n; i++) sum[i] = sum[i-1] + val[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=i; j<=n; j++)
        Max = max(Max, sum[j]-sum[i-1]);

其时间复杂度为O(n^2)，虽然少了一层循环，但复杂度还是很高

再想想能不能在优化了，O(nlogn)的算法有什么呢，，对了，就是分治

我们先将这个序列分成元素个数尽量相等的两半，求出完全位于左边或者完全位于右边的最佳序列，然后求出起点位于左边、终点位于右边的最大连续和序列，并和子问题的最优解比较。

代码如下：

​int solve(int *val, int x, int y) {
    if(y-x == 1) return val[x]; // 只有一个元素，返回 
    int m = x + (y-x) / 2; // 划分[x, m), [m, y)
    int Max_S = max(solve(val, x, m), solve(val, m, y));
    int v, L, R;
    v = 0; L = val[m-1];
    for(int i=m-1; i>=x; i--) L = max(L, v+=val[i]);
    v = 0; R = val[m];
    for(int i=m; i<=y; i++) R = max(R, v+=val[i]);
    return max(Max_S, L+R);
}

该算法是O(nlogn)的，已经能通过很大的数据了，但有没有更好的方法呢？

答案当然是有啦，比O(nlogn)还小的就是O(n)的算法啦，而且还不止一种：

​int solve_1() {
    int n; scanf("%d", &n);
    int Now; scanf("%d", &Now); // 先读入第一个数 
    int Temp, Ans = Now; // 第一个数给 Ans 
    if(Now > 0) Temp = Now; // 如果第一个数是正的，则有价值维护 
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &Now);
        Temp += Now; // 计算前 ？个连续元素和 
        if(Temp > Ans) Ans = Temp; // 出现了更优解，更新 
        if(Temp < 0) Temp = 0; // 如果过前面的和小于0了，就没有维护的价值了 
    }
    printf("%d\n", Ans); //输出答案 
}

​void solve_2() {
    int Max = -99999, Ans[MAXN];
    memset(Ans, 0, sizeof(Ans));
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int x; scanf("%d", &x);
        Ans[i] = max(Ans[i-1]+x, x); // DP
        Max = max(Max, Ans[i]);
    }
    printf("%d\n", Max);
}