字符串算法之哈希

1.定义

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 $f$，这个 $f$ 称为是 Hash 函数。

我们希望这个函数 $f$ 可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。

词汇“映射”

映射意为将一个集合中的任意元素和另一个集合中的元素一一对应。（请大佬指正）

2.思想

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围，也就是为了让两个字符串更加容易比较（感谢大佬yeyou26的指正）。
Warning
这里的「值域较小」在不同情况下意义不同。

3.性质

具体来说，哈希函数最重要的性质可以概括为下面两条：

$1.$在 Hash 函数值不一样的时候，两个字符串一定不一样；

$2.$在 Hash 函数值一样的时候，两个字符串不一定一样（但有大概率一样，且我们当然希望它们总是一样的）。

我们将 Hash 函数值一样但原字符串不一样的现象称为哈希碰撞。

引申：哈希碰撞

例子： $K_i\ne K_j$
$Hash(K_i)=Hash(K_j)$
该种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。
把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。

如何计算哈希

Warning：以下数学表达式较多，但有通俗易懂的解释，不要慌张。

计算哈希我们通常采用的是多项式 Hash 的方法，但是本蒟蒻并不会使用第一种，故使用第二种。

公式：

$$f(x)=\sum _{i=1}^l{s}_i\times b^{i-1}(modm)$$

看公式，求和 $[1,l]$ $s_i\ast b^{i-1}$ ，所以xyz的哈希值为$x+yb+z{b}^2$

我们假设 $b$ 为 $3$，则有

当 $i$ 为 $1$ 时，处理 'x'，由于 $s_i\times b^{i-1}$，而 $i=1$，故值为 $0$；

当 $i$ 为 $2$ 时，处理 'y'，由于 $s_i\times b^{i-1}$，而 $i=2$，故值为 $1$；

当 $i$ 为 $3$ 时，处理 'z'，由于 $s_i\times b^{i-1}$，而 $i=3$，故值为 $2$；

1+2=3,所以该字符串哈希值为3。

当然，最后结果还要 $Mod$（模）$M$。

根据上方一次酣畅淋漓地推理，相信你已经看懂了过程，接下来讲述如何选择公式中的b与M

这里 $M$ 需要选择一个素数（至少要比最大的字符要大），$b$ 可以任意选择。因为如果 $M$ 不为素数，哈希碰撞（上文提到过）的可能性会大大提升。

Hash 的准确率

懒得写了qwq（bushi）

管他干嘛？

实现

效率低下但容易理解的版本

int gethash(string s)
int res=0;
for(int i=0;i<s.size();i++)
res = ((long long)res * B + s[i]) % M;
return res;

这个程序最关键的一步就是res = ((ll)res * B + s[i]) % M;套公式
当然我不是那种写显然的人，但剩下步骤真的很好理解！！！

3.哈希的改进

错误率
首先我们从碰撞率这一方面进行优化.
假定哈希函数将字符串随机地映射到大小为 M 的值域中,总共有 n 个不同的字符串,在随机数据下，若 $M={10}^9+7,n={10}^6$，未出现碰撞的概率是极低的。
解决方案:
进行字符串哈希时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

时间复杂度方面
单次计算一个字符串的哈希值复杂度是 $\mathcal{O}(n)$，其中 $n$ 为串长。一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值，将哈希值看成一个 $b$ 进制的数对 $M$ 取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的哈希了.

4.应用

1.字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。
我们举个栗子
有原串 ABCACDAFEABA
有匹配串(给出让我们找的串)三个 (ACDA),(ABCD),(AFEAB)

未完待续......