浅谈差分约束

浅谈差分约束

1.定义：

​ 如果一个系统由\(n\)个变量和\(m\)个约束条件组成，并且条件都为形如\(a_i-a_j\le k\)的不等式，则称其为差分约束系统。

​ 差分约束系统是一种特殊的\(n\)元一次不等式组，每个约束条件都为两个变量作差构成。

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2.模型转换：

​ 求解差分约束系统，可以转化成图论中的单源最短路问题。

​ 对于一个不等式：\(a_i-a_j\le k\)，经过变换，可以得到\(a_i\le a_j+k\)的形式，这与最短路中的三角不等式十分相似，即：\(dist_y\le dist_x + v\)。

​ 所以我们可以把模型转化为：连接\(m\)条由\(a_j\)指向\(a_i\)、边权为\(k\)的单向边。再增加一个与所有点连通的超级源点，使其相连的边权都为0。再以超级源点为起点，求一遍单源最短路，节点\(i\)的\(dist\)值即为该不等式的解。

​ 若形成的图存在负权环，则说明该不等式系统没有解。

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3.例题与代码实现：

洛谷：P1993

洛谷传送门

题解：

​ 差分约束模板题。

​ 依据题意建图，再用SPFA判断负环即可。

​ 对于第一种信息：\(a-b\ge c\)，可转化成 \(b\le a-c\) 的形式，即连一条从\(a\)指向\(b\)、边权为\(-c\)的边

​ 对于第二种信息：\(a-b\le c\)，可转化成\(a \le b+c\) 的形式，即连一条从\(b\)指向\(a\)、边权为\(c\)的边

​ 对于第三种信息：\(a=b\)，需连一条联通\(a、b\)、边权为\(0\)的双向边

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
#define maxn 50100
int head[maxn],nxt[maxn],to[maxn],val[maxn],tot=0;
void add(int x,int y,int z)
{
	to[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	val[tot]=z;
	head[x]=tot;
}
int dis[maxn],inq[maxn],cnt[maxn];
bool spfa(int s)
{
	queue<int> q;
	q.push(s);
	memset(inq,0,sizeof(inq));
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	inq[s]=1;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		inq[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
		{
			int y=to[i];
			if(dis[y]>dis[x]+val[i])
			{
				dis[y]=dis[x]+val[i];
				cnt[y]=cnt[x]+1;
				if(cnt[y]>=n)
				return 0;
				if(!inq[y])
				{
					q.push(y);
					inq[y]=1;
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int opt;
		scanf("%d",&opt);
		if(opt==1)
		{
			int x,y,z;
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			add(x,y,-z);
		}
		if(opt==2)
		{
			int x,y,z;
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			add(y,x,z);
		}
		if(opt==3)
		{
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			add(x,y,0);
			add(y,x,0);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	add(0,i,0);
	if(spfa(0))
	printf("Yes\n");
	else 
	printf("No\n");
}