随机化算法
随机化算法指,对于特定输入,该算法的输出不是固定值,而是服从某一分布。
单纯形(simplex):一个维单纯形是指包含个顶点的凸多面体,一维单纯形是一条线段,二维单纯形是一个三角形,三维单纯形是一个四面体,以此类推推广到任意维。“单纯”意味着基本,是组成更复杂结构的基本构件。
概率单纯形(probability simplex):是一个数学空间,上面每个点代表有限个互斥事件之间的概率分布。该空间的每条坐标轴代表一个互斥事件,维单纯形上的每个点在维空间中的坐标就是其个互斥事件上的概率分布。每一点的坐标(向量)包含个元素,各元素非负且和为1。
如下图所示,三个事件发生的概率分布形成一个二维的概率单纯形,上面每个点在三个事件上发生的概率之和为1。
形式化定义:给定一个离散集,上的概率单纯形被定义为
是一个集合,集合中每一个元素是一个维向量,该向量代表了一个离散型随机变量的概率分布。代表了一个有种取值的离散型随机变量的所有可能的概率分布。
随机化算法:一个随机化算法有定义域、离散的值域和一个映射。一个输入,算法的输出。
例如,,,设中包含三个元素,分别为、、,即
每个元素均代表算法输出的随机变量取值为1,2,3,4,5的概率分布,现可以规定映射为
也就是说,一个特定输入经过随机化算法得到的不是一个具体值,而是一个分布,又或者说,算法将以一定概率输出某一个值。
上述情况是在离散概率空间中讨论的,有时,算法将从连续分布中的采样,但最后将以适当的精度进行离散化。
参考资料:
- 概率单纯形 https://zhuanlan.zhihu.com/p/479892005
- 差分隐私的算法基础 第二章 第三节 形式化差分隐私 https://zhuanlan.zhihu.com/p/502656652
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