[学习笔记]珂朵莉树

合集 - 学习笔记(4)

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3.[学习笔记]珂朵莉树2023-12-18

4.[学习笔记]分块2024-01-28

收起

0x00 介绍##

珂朵莉树（Chtholly Tree），又称 ODT（Old Driver Tree），一种数据结构，但似乎暴力到不能称之为数据结构。可以很好地骗分，在随机数据下十分有效，常用于将\([l, r]\) 赋值为 \(k\) 的时候，我们将这个操作称为推平操作

1x00 思想##

前置芝士：set

主要的思想是将值相同的区间放在同一个节点里，保存在 set 中

时间复杂度为 \(O(n \log \log n)\)

1x01 节点保存##

节点代码如下

struct Node{
	int l, r;
	mutable int val;
	Node(int l, int r, int val) : l(l), r(r), val(val){}
	bool operator < (const Node a) const{
		return l < a.l;
	}
};
set<Node> Chtholly;

这其中，mutable 十分成功地吸引了我们的注意力，mutable 意为「可变的」，因为在 set 中，所有的变量都是常量，若要修改某个值，需要取出再放回去，加上了 mutable，就可以突破这个限制，达到直接修改某个值的目的。

1x02 核心操作 split##

这里先给出代码

auto split(int x)
{
	auto it = Chtholly.lower_bound(Node(x, 0, 0));
	if (it != Chtholly.end() && it -> l == x)return it;
	it--;
	if (it -> r < x)return Chtholly.end();
	int l = it -> l, r = it -> r, val = it -> val;
	Chtholly.erase(it);
	Chtholly.insert(Node(l, x - 1, val));
	return Chtholly.insert(Node(x, r, val)).first;
}

split 第一段代码是为了找出第一个 \(x \le l\) 的元素，如果这个元素的 \(l = x\) 时，直接返回找到的。

然后 it--， 若下一个元素的 \(r > x\)，那么返回 set 的结尾。

接下来就是将他拆分开来，拆分成 \([l,x)\) 和 \([x,r]\)，先删除原节点，再加入\([l,x)\) 和 \([x,r]\) 这两个新节点。

split 操作的意义在于它可以将这些序列 \([l,r]\) 的操作转换为 set 中 \([split(l),split(r+1))\)，的操作。

1x03 推平操作 assign##

理解了上面的代码，这里就应该很好理解了吧

void assign(int l, int r, int val)
{
	auto itl = split(l), itr = split(r + 1);
	for (auto it = itl; it != itr; it++)it -> val = val;
}

2x00 例题##

2x01 例题一 CF896C##

CF：CF896C
Luogu：CF896C

2x01x01 分析##

万物之源。

操作 1 为区间加，像推平操作那样类似的方式即可

操作 2 为推平，直接用

操作 3 为区间第 \(k\) 小，用数组保存下这个区间的节点，然后询问

操作 4 为区间所有数的 \(x\) 次方之和 \(\bmod \ y\)，用快速幂解决掉

2x01x02 代码##

/*Code By Manipula*/
#include <bits/stdc++.h>
// #define Fileopen
// #pragma GCC optimize(2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define ROF(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define swap(x, y) x ^= y ^= x ^= y
#define sqrt(n) pow(n, 0.5)
#define sort stable_sort
#define mst(arr, num) memset(arr, num, sizeof(arr))
#define endl '\n'
using namespace std;
struct Node{
	int l, r;
	mutable int val;
	Node(int l, int r, int val) : l(l), r(r), val(val){}
	bool operator < (const Node a) const{
		return l < a.l;
	}
};
struct Rank{
	int val, num;
	Rank(int val, int num) : val(val), num(num){}
	bool operator < (const Rank a) const{
		return val < a.val;
	}
};
set<Node> Chtholly;
vector<Rank> RK;
auto split(int x)
{
	auto it = Chtholly.lower_bound(Node(x, 0, 0));
	if (it != Chtholly.end() && it -> l == x)return it;
	it--;
	if (it -> r < x)return Chtholly.end();
	int l = it -> l, r = it -> r, val = it -> val;
	Chtholly.erase(it);
	Chtholly.insert(Node(l, x - 1, val));
	return Chtholly.insert(Node(x, r, val)).first;
}
void assign(int l, int r, int val)
{
	auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
	Chtholly.erase(itl, itr);
	Chtholly.insert(Node(l, r, val));
}
void add(int l, int r, int val)
{
	auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
	for (auto it = itl; it != itr; it++)it -> val += val;
}
int rk(int l, int r, int x)
{
	RK.clear();
	auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
	for (auto it = itl; it != itr; it++)
		RK.push_back(Rank(it -> val, it -> r - it -> l + 1));
	sort(RK.begin(), RK.end());
	for (auto it = RK.begin(); it != RK.end(); it++)
		if (x > it -> num)x -= it -> num;
		else return it -> val;
	return INF;
}
int qpow(int n, int k, int mod)
{
	int res = 1, rhs = n % mod;
	for (; k; k >>= 1, rhs = (rhs * rhs) % mod)
		if (k & 1)res = (res * rhs) % mod;
	return res;
}
int query(int l, int r, int x, int mod)
{
	auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
	int res = 0;
	for (auto it = itl; it != itr; it++)
		res = (res + (it -> r - it -> l + 1) * qpow(it -> val, x, mod)) % mod;
	return res;
}
int n, T, seed, mx, qwq;
int rnd()
{
	int res = seed;
	seed = (seed * 7 + 13) % (int)(1e9 + 7);
	return res;
}
signed main()
{
	#ifdef Fileopen
		freopen(".in", r, stdin);
		freopen(".out", w, stdout);
	#endif
	cin >> n >> T >> seed >> mx;
	FOR(i, 1, n)Chtholly.insert(Node(i, i, (rnd() % mx) + 1));
	while (T--)
	{
		int opt = (rnd() % 4) + 1, l = (rnd() % n) + 1, r = (rnd() % n) + 1, x, mod;
		if (l > r)swap(l, r);
		if (opt == 3)x = (rnd() % (r - l + 1)) + 1;
		else x = (rnd() % mx) + 1;
		if (opt == 4)mod = (rnd() % mx) + 1;
		if (opt == 1)add(l, r, x);
		else if (opt == 2)assign(l, r, x);
		else if (opt == 3)cout << rk(l, r, x) << endl;
		else cout << query(l, r, x, mod) << endl;
	}
	return 0;
}

2x02 例题二 CF915E##

CF：CF915E
Luogu：CF915E

2x02x01 分析##

操作 1 和 2 都为推平操作，设非工作日为 0， 工作日为 1，那么就与上面的推平操作一样了，注意此题有一点卡常

2x02x02 代码##

/*Code By Manipula*/
#include <bits/stdc++.h>
// #define Fileopen
// #pragma GCC optimize(2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define ROF(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define swap(x, y) x ^= y ^= x ^= y
#define sqrt(n) pow(n, 0.5)
#define sort stable_sort
#define mst(arr, num) memset(arr, num, sizeof(arr))
#define endl '\n'
using namespace std;
struct Node{
	int l, r, val;
	Node(int l, int r, int val) : l(l), r(r), val(val){}
	bool operator < (const Node a) const{
		return l < a.l;
	}
};
set<Node> Chtholly;
auto split(int x)
{
	auto it = Chtholly.lower_bound(Node{x, 0, 0});
	if (it != Chtholly.end() && it -> l == x)return it;
	it--;
	if (it -> r < x)return Chtholly.end();
	int l = it -> l, r = it -> r, val = it -> val;
	Chtholly.erase(it);
	Chtholly.insert(Node(l, x - 1, val));
	return Chtholly.insert(Node{x, r, val}).first;
}
int n, T, sum;
void assign(int l, int r, int val)
{
	auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
	for (auto it = itl; it != itr; it++)sum -= (it -> r - it -> l + 1) * it -> val;
	Chtholly.erase(itl, itr);
	Chtholly.insert(Node(l, r, val));
	sum += val * (r - l + 1);
}
signed main()
{
	#ifdef Fileopen
		freopen(".in", r, stdin);
		freopen(".out", w, stdout);
	#endif
	cin >> n >> T; sum = n;
	Chtholly.insert(Node(1, n, 1));
	while (T--)
	{
		int opt, l, r;
		cin >> l >> r >> opt;
		assign(l, r, opt - 1);
		cout << sum << endl;
	}
	return 0;
}

3x00 总结##

珂朵莉树是骗分好手，有推平操作都可以达到骗分的目的，若数据随机甚至会 AC