【数据结构之树状数组】从零认识树状数组

一、关于树状数组

树状数组（Binary Indexed Tree，简称BIT），是一种修改和查询复杂度都为O(logN)的数据结构。但树状数组仅支持单点修改，在查询时，树状数组也要求被查询的区间具有可区间加减的性质。不过，树状数组由于代码实现容易、占用空间小，常用于代替线段树。

二、详解树状数组

在这里，我们定义原序列为a，树状数组为c，则有：

其中，k为i的二进制表示中末尾0的个数，例如：i=3(101)时，k=0；i=8(1000)时，k=3。

定义函数lowbit(x)=2^k（k为x的二进制表示中末尾0的个数），利用机器补码的性质，得到：

int lowbit(int x)
{
     return x&(-x);
}

根据定义，我们可以列出（这里我们用a[i,j]表示a[i]~a[j]间的所有元素的信息）：

c[1]=a[1]

c[2]=a[1,2]

c[3]=a[3]

c[4]=a[1,4]

c[5]=a[5]

c[6]=a[5,6]

c[7]=a[7]

c[8]=a[1,8]

c[9]=a[9]

c[10]=a[9,10]

……

首先，由树状数组的定义，我们可以得到一个性质：

•a[x]在树状数组中第一次出现在c[x]，并且c[x]包含的区间右端点为x

此外，通过观察，我们可以发现：

•a[x]仅对c[x]、c[x+lowbit(x)]、c[x+lowbit(x)+lowbit(x+lowbit(x))]……产生影响

类似于二进制拆分的思想，我们还可以发现：

•c[1]~c[x]可以还原出a[1]~a[x]的所有信息

所以，树状数组的空间复杂度就为O(n)。

那么，我们就可以写出维护树状数组的代码（这里我们的树状数组查询的信息为区间的和）：

void update(int x,int val)
{
     for(;x<=n;x+=lowbit(x))
         c[x]+=val;
     return;    
}

接下来，如果我们要求区间a[i,j]的和，我们又要怎么做呢？

不妨这样想，a[i,j]的和其实等于a[1,j]的和减去a[1,i-1]的和，那么我们只需要知道如何求一个的序列前缀和就可以了。

首先，根据定义，我们知道：

•c[x]包含的区间长度为lowbit(x)

在这个性质下，与维护操作类似，我们可以很轻松地写出求前缀和的代码：

int query(int x)
{
     int ans=0;
     for(;x;x-=lowbit(x))
         ans+=c[x];
     return ans;
}

以上，就是树状数组的基本内容了，下面我们来看一道例题。

三、题目

Description

一行N个方格，开始每个格子里都有一个整数。现在动态地提出一些问题和修改：提问的形式是求某一个特定的子区间[a,b]中所有元素的和；修改的规则是指定某一个格子x，加上或者减去一个特定的值A。现在要求你能对每个提问作出正确的回答。1≤N<100000，,提问和修改的总数m<10000条。

Input Description

输入文件第一行为一个整数N，接下来是n行n个整数，表示格子中原来的整数。接下一个正整数m，再接下来有m行，表示m个询问，第一个整数表示询问代号，询问代号1表示增加，后面的两个数x和A表示给位置X上的数值增加A，询问代号2表示区间求和，后面两个整数表示a和b，表示要求[a,b]之间的区间和。

Output Description

共m行，每个整数

Sample Input

6

4 

5 

6 

2 

1 

3

4

1 3 5

2 1 4

1 1 9

2 2 6

Sample Output

22

22

Data Size & Hint

1≤N≤100000， m≤10000 。

附上原题链接→_→|1080 线段树练习|CODEVS，算法爱好者社区

虽然是线段树练习，但在开头我们便讲过，树状数组在一定情况下可以替代线段树。

四、代码实现

以下内容是一个树状数组单点维护并求区间和的模板，可以通过CodeVs1080。其实核心代码都在上文出现过，这里只是做一个整理。

#include<cstdio>
const int MAXN=1e5+10;
int n,m;
int lowbit(int x){return x&(-x);}
int BIT[MAXN];
void update(int x,int val)
{
    for(;x<=n;x+=lowbit(x))
        BIT[x]+=val;
}
int query(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))
        ans+=BIT[x];
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        update(i,a);
    }
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int flag,l,r;
        scanf("%d%d%d",&flag,&l,&r);
        if(flag==1)update(l,r);
        else 
        {
            int ans=query(r)-query(l-1);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

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