【题解】A23330.最大四边形面积
题目链接：最大四边形面积
题目有配图参考，应该非常好理解。有一个动点 \(P\) 在笛卡尔坐标系的第一象限内随机在一条函数式为 \(y = kx + b\) 的直线上移动。问这个坐标系原点与动点所能构成的矩形的最大面积是多少。
思路分析
本题可以用暴力三分的解法，也可以使用数学的方法来快速计算答案。关于三分算法的代码和解释在本文的后半部分。
前置知识：
- 了解并熟悉基本代数函数。
- 了解一元二次函数。
- 拥有初中数学基础更好。
如果对一元二次函数不熟悉，可以参考文章：一元二次函数 by 一只姜。
计算矩形的面积比较简单，那就是矩形的底边长乘上矩形的高。很显然，矩形的底边长就是这个动点 \(P\) 的 \(x\) 坐标，高就是动点 \(P\) 的 \(y\) 坐标。因此矩形的面积应该为 \(S_{area} = x \cdot y = x \cdot (kx + b)\)。通过化简可以的得到面积 \(S_{area} = kx^2 + bx\)。这是一个一元二次函数 。
很显然，对于这个一元二次函数，这个函数的最大值就是本问题的解。如果这个一元二次函数的开口向下，那么我们就需要求出这个函数的顶点坐标，其中顶点的 \(y\) 坐标就是答案。但如果这个一元二次函数的开口向上，那么这个矩形的面积就是无限大。
如何判断函数的开口朝向？如果 \(k > 0\) 说明这个二次函数开口向上，答案为无穷大。如果 \(k < 0\)，说明这个二次函数的开口向下，通过顶点公式可以得到最大值 \(S_{area} = y = \frac{4kc - b^2}{4k}\)，由于 \(c\) 为 \(0\)，进一步化简可得 \(S_{area} = y = \frac{-b^2}{4k}\)
那么当 \(k\) 等于 \(0\) 的时候呢？这个时候就不是一个一元二次函数了，而是一个线性函数。可以得出结论，这个矩形的面积也是无穷大。
总结
- 如果 \(k \ge 0\)，输出 \(-1\)。
- 如果 \(k < 0\)，输出 \(\frac{- b^2}{4k}\)。
三分算法
三分算法 (Ternary Search) 是一种用于在单峰函数（即函数在一个区间内单调递增，然后单调递减，或者先单调递减然后单调递增）的范围内找到 最大值 或 最小值 的优化方法。它的工作原理于二分搜索类似，但每次将搜索区间分成三部分，而不是两部分。
在二分算法中，我们一般是以区间的中值进行二分。但在三分算法，我们需要将区间分成了三个部分。设当前枚举的区间在 \([L, R]\)，那么我们需要选择两个内部点将这个区间分隔开。通常情况下，我们会选择区间的左三分之一和有三分之一作为分割点，坐标分别是为 \(left\_third = L + \frac{R - L}{3}\) 和 \(right\_third = R - \frac{R-L}{3}\)。之后的逻辑与二分类似，每次可以排除左三分之一或者右三分之一（取决于枚举时的实际情况）。最后该算法就可以在对数时间内快速求解。
在这道题中，我们并不直接三分本问题的解，而是计算可以构成最大矩形面积的 \(P\) 点横坐标。由于 \(P\) 点只能在第一象限中移动，那么 \(P\) 点的移动区间应该为 \((0, -\frac{b}{k})\)。因此我们用代码枚举这个区间即可。
结论证明
为了验证公式结论的正确性，可以通过分析面积的变化率来证明。为方便起见，在后问中定义 \(f(x) = S = kx + b\)。
首先先根据面积公式可以得到 \(S_{area} = kx^2 + bx\)。为了让 \(S_{area}\) 的大小尽可能大，我们需要找到这个函数的 \(\mathtt{Local \space Maximum}\)。若一个点满足 \(\mathtt{Local \space Maximum}\) 则需要有以下两个前提：
- \(f'(x) = \frac{dS}{dx} = 0\)。
- \(f''(x) = \frac{d^2S}{dx^2} < 0\)。
计算可得 \(f'(x) = 2kx + b\)，\(f''(x) = 2k\)。
因此，只有当 \(k < 0\) 的时候才满足条件。其余情况一律输出 \(-1\) 即可。那么对于 \(k < 0\) 的时候，我们需要计算 \(x\) 满足 \(2kx + b = 0\) 的解。通过移项可以得出 \(x = \frac{-b}{2k}\)。通过代入 \(x = \frac{-b}{2k}\) 到原式可得 \(S_{area} = \frac{4kc - b^2}{4k}\)，与上述结论相同。
证毕 \(Q.E.D\)。
AC 代码
使用数学方法的 AC 代码如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
int t;
double a, b;
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> t;
while(t--){
cin >> a >> b;
if (a >= 0) {
printf("-1\n");
continue;
}
double x = (b * (-1)) / (2 * a);
double ans = x * (a * x + b);
printf("%.10lf\n", ans);
}
return 0;
}
使用三分法的 AC 代码如下：
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <limits>
using namespace std;
int t; double k, b;
// 计算正方形面积
double area(double k, double b, double x) {
return x * (k * x + b);
}
// 三分法
double ternarySearch(double k, double b) {
double left = 0;
// 与x轴的交点横坐标。
double right = -b / k;
while (right - left > 1e-7) {
double leftThird = left + (right - left) / 3;
double rightThird = right - (right - left) / 3;
if (area(k, b, leftThird) > area(k, b, rightThird))
right = rightThird;
else left = leftThird;
}
return area(k, b, (left + right) / 2);
}
int main() {
cin >> t;
while (t--) {
cin >> k >> b;
if (k >= 0) cout << -1 << endl;
else {
double maxArea = ternarySearch(k, b);
printf("%.6lf\n", maxArea);
}
}
return 0;
}
