【题解】A23330.最大四边形面积

题目链接:最大四边形面积

题目有配图参考,应该非常好理解。有一个动点 P 在笛卡尔坐标系的第一象限内随机在一条函数式为 y=kx+b 的直线上移动。问这个坐标系原点与动点所能构成的矩形的最大面积是多少。

思路分析

本题可以用暴力三分的解法,也可以使用数学的方法来快速计算答案。关于三分算法的代码和解释在本文的后半部分。

前置知识:

  1. 了解并熟悉基本代数函数。
  2. 了解一元二次函数。
  3. 拥有初中数学基础更好。

如果对一元二次函数不熟悉,可以参考文章:一元二次函数 by 一只姜

计算矩形的面积比较简单,那就是矩形的底边长乘上矩形的高。很显然,矩形的底边长就是这个动点 Px 坐标,高就是动点 Py 坐标。因此矩形的面积应该为 Sarea=xy=x(kx+b)。通过化简可以的得到面积 Sarea=kx2+bx。这是一个一元二次函数 。

很显然,对于这个一元二次函数,这个函数的最大值就是本问题的解。如果这个一元二次函数的开口向下,那么我们就需要求出这个函数的顶点坐标,其中顶点的 y 坐标就是答案。但如果这个一元二次函数的开口向上,那么这个矩形的面积就是无限大。

如何判断函数的开口朝向?如果 k>0 说明这个二次函数开口向上,答案为无穷大。如果 k<0,说明这个二次函数的开口向下,通过顶点公式可以得到最大值 Sarea=y=4kcb24k,由于 c0,进一步化简可得 Sarea=y=b24k

那么当 k 等于 0 的时候呢?这个时候就不是一个一元二次函数了,而是一个线性函数。可以得出结论,这个矩形的面积也是无穷大。

总结

  • 如果 k0,输出 1
  • 如果 k<0,输出 b24k

三分算法

三分算法 (Ternary Search) 是一种用于在单峰函数(即函数在一个区间内单调递增,然后单调递减,或者先单调递减然后单调递增)的范围内找到 最大值最小值 的优化方法。它的工作原理于二分搜索类似,但每次将搜索区间分成三部分,而不是两部分。

在二分算法中,我们一般是以区间的中值进行二分。但在三分算法,我们需要将区间分成了三个部分。设当前枚举的区间在 [L,R],那么我们需要选择两个内部点将这个区间分隔开。通常情况下,我们会选择区间的左三分之一和有三分之一作为分割点,坐标分别是为 left_third=L+RL3right_third=RRL3。之后的逻辑与二分类似,每次可以排除左三分之一或者右三分之一(取决于枚举时的实际情况)。最后该算法就可以在对数时间内快速求解。

在这道题中,我们并不直接三分本问题的解,而是计算可以构成最大矩形面积的 P 点横坐标。由于 P 点只能在第一象限中移动,那么 P 点的移动区间应该为 (0,bk)。因此我们用代码枚举这个区间即可。

结论证明

为了验证公式结论的正确性,可以通过分析面积的变化率来证明。为方便起见,在后问中定义 f(x)=S=kx+b

首先先根据面积公式可以得到 Sarea=kx2+bx。为了让 Sarea 的大小尽可能大,我们需要找到这个函数的 Local Maximum。若一个点满足 Local Maximum 则需要有以下两个前提:

  1. f(x)=dSdx=0
  2. f(x)=d2Sdx2<0

计算可得 f(x)=2kx+bf(x)=2k

因此,只有当 k<0 的时候才满足条件。其余情况一律输出 1 即可。那么对于 k<0 的时候,我们需要计算 x 满足 2kx+b=0 的解。通过移项可以得出 x=b2k。通过代入 x=b2k 到原式可得 Sarea=4kcb24k,与上述结论相同。

证毕 Q.E.D

AC 代码

使用数学方法的 AC 代码如下:

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;

int t;
double a, b;

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> a >> b;
        if (a >= 0) {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        double x = (b * (-1)) / (2 * a);
        double ans = x * (a * x + b);
        printf("%.10lf\n", ans);
    }
    return 0;
}

使用三分法的 AC 代码如下:

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <limits>
using namespace std;

int t; double k, b;

// 计算正方形面积
double area(double k, double b, double x) {
    return x * (k * x + b);
}

// 三分法
double ternarySearch(double k, double b) {
    double left = 0;
    
    // 与x轴的交点横坐标。
    double right = -b / k; 
    while (right - left > 1e-7) {
        double leftThird = left + (right - left) / 3;
        double rightThird = right - (right - left) / 3;
        
        if (area(k, b, leftThird) > area(k, b, rightThird)) 
            right = rightThird;
        else left = leftThird;
    }
    
    return area(k, b, (left + right) / 2);
}

int main() {
    cin >> t; 
    while (t--) {
        cin >> k >> b;
        if (k >= 0) cout << -1 << endl; 
        else {
            double maxArea = ternarySearch(k, b);
            printf("%.6lf\n", maxArea);
        }
    }
    return 0;
}
posted @   Macw  阅读(12)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 阿里最新开源QwQ-32B,效果媲美deepseek-r1满血版,部署成本又又又降低了!
· 开源Multi-agent AI智能体框架aevatar.ai,欢迎大家贡献代码
· Manus重磅发布:全球首款通用AI代理技术深度解析与实战指南
· 被坑几百块钱后,我竟然真的恢复了删除的微信聊天记录!
· AI技术革命,工作效率10个最佳AI工具
点击右上角即可分享
微信分享提示