「题解」星际战争

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• 思路分析及代码

「题解」星际战争

题目描述

点这里

思路分析及代码

一道网络流加二分题。

首先，看他提出的问题：

一行，一个实数，表示 $X$ 军团要摧毁 $Y$ 军团的所有巨型机器人最少需要的时间。

其中， 最少需要 这几个字十分重要，通过我们历经 $CCF$ 多年的 毒害 训练，很敏感地想到这是一道二分答案题。

考虑二分最少时间 $t$ ，现在我们要用一个 check 函数来检测所枚举的 $t$ 是否是合法的。

怎么做？

首先，我们已经知道了 $t$ ，那么我们可以通过 $t$ 与 $B[i]$ 算出在 $t$ 时间之内，武器 $i$ 能输出的最大伤害。

现在我们来分析模型：

现在我们有两列点，这两列点的特征有

• 左边这一列点，对于一个点 $i$ ，它能够输出的数据为 $t\times B[i]$
• 右边这一列点，对于一个点 $j$ ，它能够接受的数据为 $A[j]$
• 对于这些点，他们的连接关系是一个二维的 bool 数组

而我们最终的目的是，让右边这一列点能够接受的数据最大。

这个模型似乎有些像网络流了。

接下来就是代码咯…

#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;

#define rep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define pii pair<int,int>
#define Endl putchar('\n')
// #define FILEOI
// #define int long long

#ifdef FILEOI
    #define MAXBUFFERSIZE 500000
    inline char fgetc(){
        static char buf[MAXBUFFERSIZE+5],*p1=buf,*p2=buf;
        return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXBUFFERSIZE,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
    }
    #undef MAXBUFFERSIZE
    #define cg (c=fgetc())
#else
    #define cg (c=getchar())
#endif
template<class T>inline void qread(T& x){
    char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    if(f)x=-x;
}
inline int qread(){
    int x=0;char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return f?-x:x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
template<class T>void fwrit(const T x){
    if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
    if(x>9)fwrit(x/10);putchar(x%10^48);
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
    return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}

const int MAXN=1000;
const double eps=1e-9;
const double INF=1e13;

struct edge{
    int to,nxt;
    double w;
    edge(){}
    edge(const int T,const int N,const double W):to(T),nxt(N),w(W){}
}e[(MAXN<<10)+5];
int tail[MAXN+5],ecnt;
inline void add_edge(const int u,const int v,const double w){
    e[++ecnt]=edge(v,tail[u],w);tail[u]=ecnt;
    // printf("edge %d : u == %d, v == %d, w == %.6lf\n",ecnt,u,v,w);
}

int N,M;
double A[MAXN+5],B[MAXN+5],tot;
bool matrix[MAXN+5][MAXN+5];

inline void init(){
    ecnt=1;
    rep(i,0,N+M+1)tail[i]=0;
}

int dis[MAXN+5];
inline bool bfs(const int s,const int t){
    rep(i,0,N+M+1)dis[i]=-1;
    dis[s]=0;
    queue<int>Q;Q.push(s);
    while(!Q.empty()){
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=tail[u],v;i;i=e[i].nxt){
            v=e[i].to;
            if(dis[v]!=-1 || e[i].w<=0)continue;
            dis[v]=dis[u]+1;
            Q.push(v);
        }
    }
    return dis[t]!=-1;
}

double dfs(const int u,double inflow){
    if(u==N+M+1)return inflow;
    double sum=0,delta;
    for(int i=tail[u],v;i;i=e[i].nxt){
        v=e[i].to;
        if(dis[v]!=dis[u]+1 || e[i].w<=0)continue;
        delta=dfs(v,Min(inflow-sum,e[i].w));
        e[i].w-=delta,e[i^1].w+=delta;
        if((sum+=delta)>=inflow)break;
    }
    return sum;
}

inline double dinic(const int s,const int t){
    double max_flow=0;
    while(bfs(s,t))max_flow+=dfs(s,INF);
    return max_flow;
}

inline bool check(const double t){
    init();
    rep(i,1,M){
        add_edge(0,i,t*B[i]);
        add_edge(i,0,0);
    }
    rep(i,1,N){
        add_edge(i+M,N+M+1,A[i]);
        add_edge(N+M+1,i+M,0);
    }
    rep(i,1,M)rep(j,1,N)if(matrix[i][j]){
        add_edge(i,j+M,INF);
        add_edge(j+M,i,0);
    }
    double max_flow=dinic(0,N+M+1);
    return max_flow>=tot;
}

inline double bisearch(){
    double l=0,r=tot,mid,ret;
    while(l+eps<=r){
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))r=mid,ret=mid;
        else l=mid;
    }
    return ret;
}

signed main(){
#ifdef FILEOI
    freopen("file.in","r",stdin);
    freopen("file.out","w",stdout);
#endif
    qread(N,M);
    rep(i,1,N)scanf("%lf",&A[i]),tot+=A[i];
    rep(i,1,M)scanf("%lf",&B[i]);
    rep(i,1,M)rep(j,1,N)matrix[i][j]=qread();
    double ans=bisearch();
    printf("%.6lf\n",ans);
    return 0;
}