[周末训练]加分二叉树

题目

【内存限制：512$MiB$】　　【时间限制：$1000ms$】

【标准输入输出】　　【题目类型：传统】　　【评测方式：文本比较】

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【题目描述】

原题来自：NOIP 2003

设一个$N$个节点的二叉树$tree$的中序遍历为$（1，2，3，......，N）$ ，其中数字$1，2，3，......，N$为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第$i$个节点的分数为$d_i$，及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树$subtree$（也包含$tree$本身）的加分计算方法如下：

记$subtree$的左子树加分为$l$，右子树加分为$r$，$subtree$的根的分数为$a$，则$subtree$的加分为：$$l×r+a$$ 

若某个子树为空，规定其加分为$1$，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为$1，2，3，......，N$且加分最高的二叉树$tree$。

要求输出：

1. $tree$的最高加分
2. $tree$的前序遍历

【输入格式】

第一行一个整数$N$表示节点个数；

第二行$N$个空格隔开的整数，表示各节点的分数$d_i$。

【输出格式】

第一行一个整数，为最高加分$b$；

第二行$N$个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

【样例】

样例输入

5
5 7 1 2 10

样例输出

145
3 1 2 4 5

【数据范围与提示】

对于$100%$的数据，$N<30$，$b<100$，结果不超过$4×10^9$。

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题解

【做题经历】

以为是一道树$dp$，但是做了半天都没啥思路，果断弃疗

但是不是树$dp$是什么呢，然后想了一下，发现题目给定这个树的中序遍历是$1，2，3，......，N$，但是也只有一个树的中序遍历，也就是说我们并不知道这个树的形状。

那么对于一个中序遍历片段$l，l+1，l+2，...，r$，假设它是一棵子树（因为中序遍历我们并不能确定树的形状，随便抓一段出来都可以当子树）

我们并不知道到底哪一个数是这个子树的根节点，就需要$k$来枚举根节点，那么$l≤k≤r$

那么为了保存状态，定义状态$dp[l][r]$:编号从$l$到$r$为一棵子树时，它的最高加分

为了保存这个子树的根（因为最后还是输出先序遍历结果），再开一个数组$rt[i][j]$:当子树$[l,r]$取最大加分时，它的根的编号

那么就有状转$$dp[i][j]=max\left \{dp[i][k-1]×dp[k+1][r]+d[k]|k \in [l,r]\right \}$$

【正解】

一道水题我怎么不能手切，去看看我的亲身经历吧

代码请放心食用

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>inline void qread(T& x){
    char c;x=0;bool flg=false;
    while((c=getchar())<'0'||'9'<c)if(c=='-')flg=true;
    for(x=(c^48);'0'<=(c=getchar())&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    if(flg)x=-x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
inline int rqread(){
    char c;int x=0,f=1;
    while((c=getchar())<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
    for(x=(c^48);'0'<=(c=getchar())&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return x*f;
}
const int MAXN=30;
int N,dp[MAXN+5][MAXN+5],rt[MAXN+5][MAXN+5];
int make(const int l,const int r){
    if(l>r)return 1;
    if(dp[l][r]!=-1)return dp[l][r];
    int now;
    for(int k=l;k<=r;++k){
        now=make(l,k-1)*make(k+1,r)+dp[k][k];
        if(now>dp[l][r]){
            dp[l][r]=now;
            rt[l][r]=k;
        }
    }
    return dp[l][r];
}
bool flg=false;
void output(const int l,const int r){
    if(l>r)return;
    if(flg)putchar(' ');
    else flg=true;
    printf("%d",rt[l][r]);
    output(l,rt[l][r]-1);
    output(rt[l][r]+1,r);
}
signed main(){
    qread(N);
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    for(int i=1;i<=N;++i)qread(dp[i][i]),rt[i][i]=i;
    printf("%d\n",make(1,N));
    output(1,N),putchar('\n');
    return 0;
}