[多校联考]琪露诺数

题目

【题目背景】

琪露诺是住在雾之湖的冰之妖精，在幻想乡的妖精当中算是最强的。同时她也是幻想乡首屈一指的数学家，有自己的算术教室。她喜欢用九进制来表示数字，因为这样数字中就不含$9$了。

【题目描述】

对于一个十进制数$X$，它在九进制下表示为$Y$，如果$Y$是一个回文数字，那么我们称$X$是一个琪露诺数。请你找出$[L,R]$中有多少个琪露诺数。

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【输入格式】

第一行一个非负整数$T$，表示询问的个数。

接下来$T$行，每行两个正整数$L$和$R$，表示该组询问对应的范围$[L,R]$。

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【输出格式】

对于每个询问，输出一个整数，表示$[L,R]$中琪露诺数的个数。

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【样例输入】

样例输入1
1
1 10
样例输入2
4
1 100
1 1000
1 10000
18 19

【样例输出】

样例输出1
9
样例输出2
19
92
203
0

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【数据范围】

对于样例1：[1,10]中有以下琪露诺数：1、2、3、4、5、6、7、8、10，他们在九进制下分别表示为1、2、3、4、5、6、7、8、11。

对于30%的数据，R≤10000

对于40%的数据，R≤10^12

对于50%的数据,R≤10^30

对于100%的数据，R≤10^100，T≤20，1≤L≤R

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【提示】

对于任何一种进制——$X$进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢$X$进位。十进制是逢$10$进位，十六进制是逢$16$进位，二进制就是逢$2$进位，以此类推，$X$进制就是逢$X$进位。同一个数在不同进制下可能会表示成不同的样子，比如十进制数$13$在二进制下表示为$1101$，在九进制下表示为$14$。

回文数字的定义如下：最高位的数字等于最低位的数字，次高位的数字等于次低位的数字……以此类推。比如：$22$,、$313$、$6$等都是回文数字，而$12$、$321$等不是回文数字。特别的，回文数字不考虑前导$0$，所以$20$、$110$不是回文数字，而$0$是回文数字。

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题解

一道比较简单的高精度题(虽然我在考试的时候没做出来)

我们先把问题用差分转化成区间$[1,R]$内的数量减区间$[1,L-1]$内的数量。

注意，$L-1$可能为$0$，此时需要特判。

然后问题就转化为求区间$[1,X]$内的数量。

我们可以很快的求出九进制下小于等于某个数的最大回文数字，方法如下：

考虑这个九进制数的前半部分不变

如果构造后半部分的话，会不会比当前大，如果不会那么构造出来的就是小于等于这个数的最大回文数字

否则把前半部分看成一个数进行减$1$操作，再重新构造

注意这个过程中可能会发生位数的变化，所以我们先把$X$转化为九进制数$Y$，求出九进制下小于等于$Y$的最大回文数字$Z$，再把$Z$转化回十进制数

实现中涉及高精度的进制转换和加减法。时间复杂度$O(T*len^2)$。

注意，回文数分为长度为奇数和长度为偶数两种情况，涉及构造后半部分的不同。

CODE我知道你们只看这个

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int qread(){
    #define cg (c=getchar())
    int x,f=1;char c;
    while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return x*f;
    #undef cg
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
const int MAXL=200;
int T;
string l,r,c;
string add(const string x,const string y){
    int a[MAXL+5]={},b[MAXL+5]={},len;
    for(int i=0,siz=x.size();i<siz;++i)a[siz-i]=x[i]^48;
    for(int i=0,siz=y.size();i<siz;++i)b[siz-i]=y[i]^48;
    len=Max(x.size(),y.size());
    for(int i=1;i<=len;++i)a[i]+=b[i],a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
    if(a[len+1])++len;
    string ret;ret.clear();
    for(int i=len;i>=1;--i)ret+=a[i]^48;
    return ret;
}
string sub(const string x,const string y){
    int a[MAXL+5]={},b[MAXL+5]={},len;
    for(int i=0,siz=x.size();i<siz;++i)a[siz-i]=x[i]^48;
    for(int i=0,siz=y.size();i<siz;++i)b[siz-i]=y[i]^48;
    len=Max(x.size(),y.size());
    for(int i=1;i<=len;++i){
        a[i]-=b[i];
        if(a[i]<0)a[i]+=10,--a[i+1];
    }
    while(a[len]==0&&len>1)--len;
    string ret;ret.clear();
    for(int i=len;i>=1;--i)ret+=a[i]^48;
    return ret;
}
bool zero(const string x){
    for(int i=0,siz=x.size();i<siz;++i)if(x[i]!='0')
        return false;
    return true;
}
string trans(string x,int n,int m){
    if(zero(x))return "0";
    string res,ret;res.clear(),ret.clear();
    // cout<<"This is transform:x=="<<x<<";n=="<<n<<";m=="<<m<<endl;
    while(!zero(x)){
        int r=0;
        for(int i=0,siz=x.size();i<siz;++i){
            res+=(((r*n+x[i]-'0'))/m)+'0';
            r=(r*n+x[i]-'0')%m;
        }
        x=res;
        res.clear();
        ret+=r+'0';
    }
    reverse(ret.begin(),ret.end());
    return ret;
}
string palin(const string x){
    if(zero(x))return "0";
    // cout<<"come in!"<<endl;
    bool flg=false;
    for(int len=x.size(),i=(len-1)>>1;i>=0;--i){
        if(x[i]==x[len-i-1])continue;
        if(x[i]>x[len-i-1]){flg=true;break;}
        else{flg=false;break;}
    }
    string a,b;a.clear(),b.clear();
    for(int i=0,len=x.size();i<(len+1)>>1;++i)a+=x[i];
    for(int i=0,len=x.size();i<len>>1;++i)b+='8';
    a=trans(a,9,10);
    if(flg)a=sub(a,"1");
    // cout<<a<<' '<<b<<endl;
    return add(a,trans(b,9,10));
}
signed main(){
    T=qread();
    while(T--){
        cin>>l>>r;
        l=sub(l,"1");
        l=trans(l,10,9);
        r=trans(r,10,9);
        cout<<sub(palin(r),palin(l))<<endl;
    }
    return 0;
}

 

放心食用！