【容斥原理，莫比乌斯反演】用容斥替代莫比乌斯反演第二种形式解决gcd统计问题

名字虽然很长。但是其实很简单，对于这一类问题基本上就是看你能不能把统计的公式搞出来（这时候需要一个会推公式的队友）

来源于某次cf的一道题，盼望上紫的我让潘学姐帮我代打一道题，她看了看跟我说了题解，用反演写的，然后……还是错了23333。赛后题解给出的是用容斥原理解决问题，但是我并看不懂学姐的公式，也还不懂莫比乌斯反演的第二种形式。直到最近刚看，才恍然大悟。

这类问题的特点是，给一个集合，问所有子集的w（gcd（某个子集））的和问题（w表示某个函数，一般是跟子集长度有关）。

可以做出两个函数。

一个是 f（x）= w（gcd（子集）=x）的答案。

一个是g（x）=w（gcd（子集）=k*x）的答案。（k≥1）。而且g（x）要求可以直接求出来。

显然g（x）=∑f（kx）（k≥1）。

然后这个东西可以反演，变成

f（x）=∑x|d u（d/x）*g（d）。

然后就是答案就是ans=∑f（x） （或者满足某种性质的x）

 

而如果时间复杂度要求是nlogn的，然后容斥理解，就很简单了。

f（x）=g（x）-∑f（kx） （k大于等于2），通过倒序处理答案，调和级数复杂度解决了问题。

 

当然容斥也有不足的地方，比如遇到低于nlogn的复杂度，或者需要预处理答案的那种（基本上就是遇到杜教课件里面的两种情况，1空间换时间，2 10^10次，就得考虑用反演变换化简了）

但是一旦容斥可以写，问题就变成如果搞出w函数。就变成数学公式，就可以甩锅给队友。而且切起来一气呵成。

 

题目合集上我在vjudge找到了一场练习，除掉几道八中上面的，其他基本写掉了，而且大部分可以用容斥写，感觉真心作弊。

https://vjudge.net/contest/139539#overview

另外这就是开头说的cf的某道题：http://codeforces.com/contest/839/problem/D