拉格朗日插值

Lagrange 插值法

给定 \(n\) 个点的坐标，现在你需要求出一个过这 \(n\) 个点的 \(n - 1\) 次多项式。

Lagrange 的聪明之处在于想到了用若干个多项式函数去还原这个多项式函数。

考虑构造 \(f_i(x)\) 函数使得其 \(f_i(x) = \begin{cases} 1 (x = x_i)\\ 0 (x \ne x_i) \end{cases}\)

那么最后我们需要找到的那个多项式函数就是 \(f(x) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} y_if_i(x)\)。

然后如何构造一个 \(f_i(x)\) 使得其满足上面提到的条件呢？不妨构造：

\(f_{i}(x) = \displaystyle \prod_{j \ne i} \frac{(x - x_j)}{(x_{i} - x_j)}\)

那么很显然，当 \(x = x_i\) 的时候这个函数的取值肯定会是 \(1\)，假若 \(x \ne x_i\)，那么当 \(x\) 的横坐标等于其它点（\(j \ne i,x = x_j\)）的时候，那么这个函数的取值必然会取到 \(0\)，于是乎，我们就完成了整个算法。

Lagrange 插值法查函数单点的取值也会是 \(O(n^2)\) 的。