文本生成器(AC自动机 + DP)
这道题，人人都说是AC自动机上dp的套路板子，但是他们给的分析蒟蒻死活也听不明白(可能是初学的缘故.......)
好久终于搞懂了，写了这篇题解想造福跟我一样的同胞(应该只有我一个人这么菜......)
题意简化 ：
给你\(n\)个模式串，你需要生成一个长度为\(m\)的字符串使得至少一个模式串可以匹配成功，问可行的生成方案总数对10007取模。
多串匹配，计数，是dp + AC自动机.....(这里还是蛮显然的)
但是怎么做?
思路
什么样的字符串使得至少一个模式串可以匹配？这个东西太难处理了。
正难则反 --------- OI中的著名四字成语
不妨转化为求没有一个模式串可以匹配成功的方案数为\(sum\)。(补集转换)
然后不含一个模式串的字符串的方案就是\(26^m - sum\)
首先用\(n\)个模式串模式串建立一个AC自动机
思考什么时候会有一个文本串使得没有一个模式串可以匹配成功？
//这是AC自动机进行匹配的代码。
//这段函数将会输出有多少个模式串与文本串匹配成功
void GetAns()
{
int len = strlen(a),now = 0 , ans = 0;
for(int i = 0 ; i < len ; i ++)
{
int num = a[i] - 'a';
now = AC[now].son[num];
for(int u = now ; AC[u].end != -1 && u ; u = AC[u].Fail)
{
ans += AC[u].end;
AC[u].end = -1;
}
}
cout << ans << endl;
return ;
}
观察ＡＣ自动机获取答案的过程，我们发现:
访问到一个文本串里面的节点，我们就会不停的跳这个点的\(Fail\)，这个点的\(Fail\)的\(Fail\) .......(这个就被称为\(Fail\)链)，直到跳到根或者是答案已经被计算过的点(已经被跳过了，再往下跳就重复了)。
然后答案累加上以跳到的点为结尾的模式串的个数。
假设\(i\)的\(Fail\)指针指向点\(j\)，根据\(Fail\)指针的定义就为：Ｔｒｉｅ上根节点到\(j\)的路径形成的字符串是Ｔｒｉｅ上根节点到\(i\)的路径形成的字符串的后缀
那么这样子答案是显然可行的.
那么我们要让答案为0，怎么办?
那就是当前点以及跳到的点上，没有任何一个模式串以它们为结尾，我们要选的点是这些，至于其他的点，我们则要"避开"。
考虑如何DP
根据套路(没办法，套路还是得知道一下的)，ＡＣ自动机上的ＤＰ一般状态的设置是这样子的: \(DP[i][j]\) <----- 表示AC自动机上走\(i\)步且最后走的一个是\(j\)的答案
根据上面的分析$DP[i][k] $就要累加上 \(DP[i - 1][j]\) (\(k\)是\(j\)的儿子，同时满足\(j\)没有一个模式串以其\(Fail\)链上的点(包括\(j\))为结尾)
最后，统计出来所有的答案\(\sum_{i = 0}^{i = cnt} {DP[m][i]}也就是以ＡＣ自动机上任意一个节点为"j"的答案，同时文本要求长度为m\)
答案就是\((26^m - sum)\) \(mod\) \(10007\)
至此结束.
注意一下模意义下减法要加上\(Mod\)防止变成负数,详见代码。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,cnt = 0;
const int MAXN = 6005,MAXM = 105,Mod = 10007;//常量赋值
char s[1005];//给定的模式串用这个存
struct node{
int end,Fail;
int son[26];
}AC[MAXN];//AC自动机
int vis[MAXN];//建立Fail指针的时候要用的东西
int f[MAXM][MAXN];//DP数组
void build()
{
int len = strlen(s),now = 0;
for(int i = 0 ; i < len ; i ++)
{
int num = s[i] - 'A';
if(AC[now].son[num] == 0)
AC[now].son[num] = ++cnt;
now = AC[now].son[num];
}
AC[now].end = 1;
}//建立AC自动机
void GetFail()
{
int now = 0 , head = 0 , tail = 0;
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++)
if(AC[0].son[i])
tail ++ , vis[tail] = AC[0].son[i];
while(head < tail)
{
head ++;
int v = vis[head];
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++)
{
if(AC[v].son[i])
{
AC[AC[v].son[i]].Fail = AC[AC[v].Fail].son[i];
tail ++;
vis[tail] = AC[v].son[i];//普通的建立AC自动机即可
AC[AC[v].son[i]].end |= AC[AC[AC[v].son[i]].Fail].end;//这里运用了或运算来求出Fail链上是否有一个点为模式串的结尾
}
else AC[v].son[i] = AC[AC[v].Fail].son[i];
}
}
return ;
}
int quick_power(int x,int y){
int ans = 1 , op = x;
if(y == 2)return x*x;
if(x == 0)return 0;
while(y){
if(y % 2 == 1)ans *= op , ans %= Mod;
op *= op , op %= Mod;
y = y >> 1;
}
return ans % Mod;
}
void DP()
{
f[0][0] = 1;
for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
for(int j = 0 ; j <= cnt ; j ++)
if(!AC[j].end)//我们显然不能对不合法的点进行动态规划
{
for(int k = 0 ; k < 26 ; k ++)
f[i][AC[j].son[k]] =( f[i][AC[j].son[k]] + f[i - 1][j] )% Mod;
}
int ans = 0;
for(int j = 0 ; j <= cnt ; j ++)
if(!AC[j].end)ans += f[m][j],ans %= Mod;
cout <<(quick_power(26,m) - ans + Mod )% Mod;//这里要加上Mod，不然会死
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
{
cin >> s;
build();
}
GetFail();//这里是进行建Fail的
DP();//这里是进行DP的
return 0;
}
