二进制拆分

在网络上找的我好辛苦啊！！！因为本人太蒟了，看了好多博客都没看懂，然后莫名秒懂。

 

原理：一个数能够被拆分为任意二进制的和。 (这个原理造出来好多算法啊QAQ)

T=2^p₁+2^p₂+2^p₃+...+2^p_n

而且       小于等于       T的所有整数都能被2^p₁       2^p₂      2^p₃      ....     2^p_n的和表示出来

 

证明我不会，但是我知道任意一个数都有自己的二进制形式，比如     13=1101

小于等于13的二进制数肯定不会超过4位，对于T如果有K位，那么小于等于T的数都不可能大于K位

(因为2¹ + 2² + 2³ ...  + 2^p-1   = 2^p  - 1)

网络上有个例子就是什么：

2⁰+2¹+2²能表示出1到7的任意整数，那么2⁰+2¹+2²+ 6就能表示出1~13的整数

这个例子的剖析就是说：

一个数表示拆成小于它的所有二的次方的和(这个二次方的指数要是递增的)后会剩下一个数。

 

然后我们这样拆分之后就能用log(n)个数表示出 你想表示出来的1~n中的任意数了

放个二进制拆分的例子直观的感受一下它的用途：

多重背包；

众所周知多重背包的朴素算法就是如果第i件物品有 k_i 个，那么我们不妨将i物品直接复制为k_i个然后做01背包

这样的时间复杂度是O(nmΣk_i)的；

这玩意很容易超时啊！！！

算法的复杂度瓶颈就在与我们把物品分成k_i个做01背包了，

但是你可以把k_i进行二进制拆分，把物品栏中加入重量为wi * (2^p),体积为vi *(2^p)的物品了

这样拆分后与拆成k_i个物品做零一背包是等效的，因为同样都可以表示出加入当前i物品1~k_i个的价值以及重量

然后时间复杂度就优化到了O(nmlog(Σk_i))

核心代码为:

  for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)  
　　 for (int j = 1 ; j <= k[i] ; j <<=1)
　　　t++,val[t]=j*v[i],waste[t]=j*w[i];