Recursive Algorithm for Sliding Signal Processing
Jacobsen E. and Lyons R. An update to the sliding DFT. SPM, 2004.
Kober V. Fast algorithms for the computation of sliding discrete sinusoidal transforms. TSAP, 2004.
概
在一个滑动窗口上的信息处理的快速算法.
滑动窗口上的快速算法
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在实际中, 我们常常会遇到一批一批的数据:
\[[\cdots, \underbrace{x_p, x_{p+1}, \cdots, x_{p + N-1}}_{W_p}, x_{p + N}, \cdots], \]\(W_p\) 是其中一个长度为 \(N\) 的窗口.
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一般的信号处理, 关注的是所有数据的一个处理, 但是这里我们仅考虑 \(W_p\) 上数据的一个处理. 当然, 一般的信号处理可以无碍地应用在 \(W_p\) 之上, 但是如果在 \(W_p\) 已经处理过的信号基础上, 更快速地得到 \(W_{p+1}, W_{p+2}\) 上的结果, 是参考文献所关注的问题.
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上面的参考文献, 关注的是如下一个更加特殊的情况:
\[\tag{1} X_k(p) = \sum_{n=0}^{N-1} x_{p+n} \cdot f_{k, n}, \]其中 \(\{f_k = [f_{k, 0}, \ldots, f_{k, N-1}]^T: k \in 0, 1, \ldots, N-1\}\) 往往构成正交基. 比如, 当 \(f_{k, n} = e^{-i 2 \pi kn / N}\) 的时候, (1) 就是熟知的离散傅里叶变换.
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显然, 来一个新的样本 \(x\) 就重新计算 (1) 是动态更新 \(X_k(p)\) 的一个法子, 但是极其消耗代价. 上述文章, 大体利用 \(f_{k, n}\) 的一个周期性, 从而得到形如如下的一个迭代算法:
\[X_k(p + 1) = a X_k(p) - b x_p + cx_{p+N}. \] -
下面是傅里叶变换下的一个特殊例子, 其它情况 (DCT, DST, WHT) 会有比较类似的结果:
\[\begin{array}{ll} X_k(p + 1) &= \sum_{n=0}^{N-1} x_{p + 1 + n} \cdot e^{-i2\pi kn / N} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x_{p+n} \cdot e^{-i2\pi k (n - 1) / N} \\ &\quad \quad - x_{p} e^{i2\pi k / N} + x_{p + N} e^{-2\pi k (N-1) / N} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x_{p+n} \cdot e^{-i2\pi k (n - 1) / N} \\ &\quad \quad - x_{p} e^{i2\pi k / N} + x_{p + N} e^{i2\pi k / N} \\ &= e^{i2\pi k / N} \bigg \{ \sum_{n=0}^{N-1} x_{p+n} \cdot e^{-i2\pi k n/ N} - x_{p} + x_{p + N} \bigg\} \\ &= e^{i2\pi k / N} \bigg \{ X_k(p) - x_{p} + x_{p + N} \bigg\}. \end{array} \] -
遗憾的是, 这种方式, 似乎依旧必须保存整个 \(W_p\) 的数据.
