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概
在一个滑动窗口上的信息处理的快速算法.
滑动窗口上的快速算法
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在实际中, 我们常常会遇到一批一批的数据:
[⋯,xp,xp+1,⋯,xp+N−1Wp,xp+N,⋯],
Wp 是其中一个长度为 N 的窗口.
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一般的信号处理, 关注的是所有数据的一个处理, 但是这里我们仅考虑 Wp 上数据的一个处理. 当然, 一般的信号处理可以无碍地应用在 Wp 之上, 但是如果在 Wp 已经处理过的信号基础上, 更快速地得到 Wp+1,Wp+2 上的结果, 是参考文献所关注的问题.
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上面的参考文献, 关注的是如下一个更加特殊的情况:
Xk(p)=N−1∑n=0xp+n⋅fk,n,(1)
其中 {fk=[fk,0,…,fk,N−1]T:k∈0,1,…,N−1} 往往构成正交基. 比如, 当 fk,n=e−i2πkn/N 的时候, (1) 就是熟知的离散傅里叶变换.
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显然, 来一个新的样本 x 就重新计算 (1) 是动态更新 Xk(p) 的一个法子, 但是极其消耗代价. 上述文章, 大体利用 fk,n 的一个周期性, 从而得到形如如下的一个迭代算法:
Xk(p+1)=aXk(p)−bxp+cxp+N.
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下面是傅里叶变换下的一个特殊例子, 其它情况 (DCT, DST, WHT) 会有比较类似的结果:
Xk(p+1)=∑N−1n=0xp+1+n⋅e−i2πkn/N=∑N−1n=0xp+n⋅e−i2πk(n−1)/N−xpei2πk/N+xp+Ne−2πk(N−1)/N=∑N−1n=0xp+n⋅e−i2πk(n−1)/N−xpei2πk/N+xp+Nei2πk/N=ei2πk/N{∑N−1n=0xp+n⋅e−i2πkn/N−xp+xp+N}=ei2πk/N{Xk(p)−xp+xp+N}.
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遗憾的是, 这种方式, 似乎依旧必须保存整个 Wp 的数据.
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