Graph Edge Partitioning via Neighborhood Heuristic

目录

• 概
• 符号说明
• Vertex vs Edge partitioning
• NE (Neighbor Expansion)
• 代码

Zhang C., Wei F., Liu Q., Tang Z. G. and Li Z. Graph edge partitioning via neighborhood heuristic. KDD, 2017.

概

本文提出了一种图分割方法 (edge partitioning), 保证只有少量的重复结点.

符号说明

• $G = (V, E)$, 无向无权图;
• $n = |V|, m = |E|$;
• $(x, y) \in E$, edge;
• $N(x) = \{y| (x, y) \in E\}$, 节点 $x$ 的一阶邻接矩阵;
• $[p] := \{1, 2, \ldots, p\}$

Vertex vs Edge partitioning

• 图分割里面有两种分割类型:

  1. vertex partitioning: 旨在将点集分割成不相交的子集, 代价是会有部分边被舍弃;
  2. edge partitioning: 旨在将边集分割成不相交的子集, 代价是会有重复的节点 (即两个子图可能会有相同的节点).

• 本文主要关注的是第二个问题, 严格来说:

  1. 假设我们将 $G$ 分成 $p$ 个子图 $G_i = (V_i, E_i), i \in [p]$, 满足:
     $$E_i \subset E, \quad \bigcup_{i \in [p]} E_i = E, \quad E_i \cap E_j = \empty.$$

  2. 定义节点重复率 (replication factor) 为
     $$\text{RF}(E_1, \ldots, E_p) := \frac{1}{|V|} \sum_{i \in [p]} |V(E_i)|.$$

  3. 则我们称该 $p$ edge partitioning 是最优的, 如果满足
     1. $\alpha$-balanced:
        $$\max_{i \in [p]} \{|E_i|\} \le \lceil \alpha |E| / p \rceil.$$

     2. minimal replication factor: 在所有 $\alpha$-balanced 的分割中, 节点重复率最低.

NE (Neighbor Expansion)

• 上述的问题是 NP-hard 的, 作者给出一个启发式的算法.

  • 初始化:

    $$C, S, E_k \leftarrow \empty$$

  • 挑选核心节点:

    $$x \leftarrow \left \{ \begin{array}{ll} \text{selected randomly in } V \setminus C & S \setminus C = \empty, \\ \text{argmin}_{v \in S \setminus C} |N(v) \setminus S| & S \setminus C \not= \empty. \end{array} \right .$$

  • 更新:

    1. $C \leftarrow C \cup \{x\}$;
    2. $S \leftarrow S \cup N(x)$;
    3. $E_k \leftarrow \{(x, y) | x, y \in S\}$.

  • 如果 $|E_k| > \alpha m / p$, 则停止, 否则回到第二步.

• 这里的重点是核心节点的选择, 它旨在选择那些尽可能引起少量重复边出现的节点 (即该节点的邻居最好已经都在 $S$ 中了), 从而保证最后的分割的节点重复是少的.

代码

[zongshenmu/GraphPartitioners]