DAG-GNN: DAG Structure Learning with Graph Neural Networks

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• 概
• 主要内容
• 代码

Yu Y., Chen J., Gao T. and Yu M. DAG-GNN: DAG structure learning with graph neural networks. In International Conference on Machine Learning (ICML), 2019.

概

有向无环图 + GNN + VAE.

主要内容

先前已经有工作(NOTEARS)讨论了如何处理线性SEM模型

$$X = A^TX + Z,$$

$A \in \mathbb{R}^{m \times m}$为加权的邻接矩阵, $m$代表了有向无环图中变量的数目, $Z$是独立的noise. 需要特别说明的是, 在本文中, 作者假设每一个结点变量$X_i$并非传统的标量而是一个向量 (个人觉得这是很有意思的点, 有点胶囊的感觉), 故$X \in \mathbb{R}^{m \times d}$, 这里$X_i$为$X$的第$i$行.

本文在此基础上更进一步, 考虑非线性的情况:

$$g(X) = A^Tg(X) + f_1(Z),$$

如果$g$可逆, 则可以进一步表示为

$$X = f_2((I - A^T)^{-1}f_1(Z)).$$

为了满足这一模型, 作者套用VAE, 进而最大化ELBO:

$$\mathcal{L}_{\mathrm{ELBO}} = \mathbb{E}_{q_{\phi}(Z|X)}[\log p_{\theta}(X|Z)] - \mathbb{D}_{\mathrm{KL}}(q_{\phi}(Z|X)\| p(Z)),$$

整个VAE的流程是这样的:

1. encoder:

   $$M_Z, \log S_Z = f_4((I - A^T)f_3(X)), \\ Z \sim \mathcal{N}(M_Z, S_Z^2).$$

2. decoder

$$M_X, S_X = f_2((I - A^T)^{-1}f_1(Z)), \\ \widehat{X} \sim \mathcal{N}(M_X, S_X^2).$$

注: 因为每个结点变量都不是标量, 所以考虑上面的流程还是把$X, Z$拉成向量$md$再看会比较清楚.

此时

$$\mathbb{D}_{\mathrm{KL}}(q_{\phi}(Z|X)\|p(Z)) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^d \{[S_Z]_{ij}^2 + [M_Z]_{ij}^2 - 2\log [S_Z]_{ij} - 1 \}.$$

仅最大化ELBO是不够的, 因为这并不能保证$A$反应有向无环图, 所以我们需要增加条件

$$h(A) = \mathrm{tr}[(I+\alpha A \circ A)^m] = m,$$

具体推导看NOTEARS, 这里$\alpha=\frac{c}{m}$, $c>0$是一个超参数, 这个原因是

$$(1 + \alpha |\lambda|)^m \le e^{c|\lambda|},$$

所以合适的$c$能够让条件更加稳定.

最后目标可以总结为:

$$\min_{\phi, \theta, A} \quad -\mathcal{L}_{\mathrm{ELBO}} \\ \mathrm{s.t.} \quad h(A) = 0.$$

同样的, 作者采用了augmented Lagrangian来求解

$$(A^k, \phi^k, \theta^k) = \arg \min_{A,\phi, \theta} \: -\mathcal{L}_{\mathrm{ELBO}} + \lambda h(A) + \frac{c}{2}|h(A)|^2, \\ \lambda^{k+1} = \lambda^k + c^k h(A^k), \\ c^{k+1} = \left \{ \begin{array}{ll} \eta c^k, & \mathrm{if} \: |h(A^k)| > \gamma |h(A^{k-1})|, \\ c^k, & otherwise. \end{array} \right.$$

这里$\eta > 1, \gamma < 1$, 作者选择$\eta=10, \gamma=1/4$.

注: $c$逐渐增大的原因是, 显然当$c = +\infty$的时候, $h(A)$必须为0.

注: 作者关于图神经网络的部分似乎就集中在$X$的模型上, 关于图神经网络不是很懂, 就不写了.

代码

原文代码