Direct and Indirect Effects

Judea Pearl. Direct and indirect effects. In Proceedings of the 17th conference on uncertainty in artificial intelligence. Morgan Kaufmann Publishers Inc., 2001.

CDE: Controlled Direct Effect;

NDE: Natural Direct Effect;

NIE: Natural Indirect Effect.

TDE: Total Direct Effect;

TIE: Total Indirect Effect;

PDE: Pure Direct Effect;

PIE: Pure Indirect Effect.

主要内容

graph LR X(X) -->Z(Z) --> Y(Y) X --> Y

设想, 药物\(X\)的影响通过俩种途径:

  1. 直接对身体产生的影响;
  2. 服用药物\(X\)会导致头疼, 故患者大概率会服用镇痛剂, 镇痛剂会利于(或者不利于)恢复.

如果我们直接计算causal effect, 则二者都会纳入其中, 但是往往我们所关心的只是单纯的\(X \rightarrow Y\)这一部分, 也即direct effect, 那么如何计算呢?

CDE

average CDE的计算是:

\[\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=z)] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=z)], \]

之所以被称之为controlled direct effect, 是因为我们认为的限定\(Z=z\).
用上面的例子来说就是, 我们限定所有人服用的镇定剂为\(z\).

NDE

average NDE的计算是:

\[\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=Z_{x*})] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)], \]

相当于, 一个人服用了药物\(x\), 但是我们骗他说服用了药物\(x^*\), 导致其服用镇定剂的量是本应该服用药物\(x^*\)后的量.

不同于CDE, NDE的计算要略微复杂一点:

需要满足:

\[Y_{xz} \amalg Z_{x^*} | W, \]

这里\(W\)是confounder.
此时:

\[NDE(x, x^*, Y) = \sum_{w, z}[\mathbb{E}[Y_{x,z}|w] - \mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w]]P(Z_{x^*}=z|w)P(w). \]

NIE

有些时候我们想要的是支线\(X \rightarrow Z \rightarrow Y\), 此时我们需要计算NIE:

average NIE的计算是

\[\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=Z_{x})] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)]. \]

类似的解释.

满足

\[Y_{x^*, z} \amalg Z_x | W, \]

可以得到

\[NIE(x, x^*, Y) = \sum_{w, z}\mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w][P(Z_{x}=z|w) - P(Z_{x^*}=z|w)]P(w). \]

TDE, TIE, PDE, PIE

可以发现:

\[\begin{array}{rl} \mathbb{E}[Y_{x}] -\mathbb{E}[Y_{x^*}] &=\mathbb{E}[Y_{xZ_x}] -\mathbb{E}[Y_{x^*Z_{x^*}}] \\ &=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xZ_x}]-\mathbb{E}[Y_{xZ_{x^*}}])}_{TIE} + \underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xZ_{x^*}}]-\mathbb{E}[Y_{x^*Z_{x^*}}])}_{PDE}\\ &=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xZ_x}]-\mathbb{E}[Y_{x^*Z_x}]])}_{TDE} + \underbrace{(\mathbb{E}[Y_{x^*Z_x}]-\mathbb{E}[Y_{x^*Z_{x^*}}])}_{PIE}. \end{array} \]

PDE = NDE, PIE = NIE.

posted @ 2021-04-03 21:26  馒头and花卷  阅读(619)  评论(0编辑  收藏  举报