Direct and Indirect Effects

目录

• 概
• 主要内容
  • CDE
  • NDE
  • NIE
  • TDE, TIE, PDE, PIE

Judea Pearl. Direct and indirect effects. In Proceedings of the 17th conference on uncertainty in artificial intelligence. Morgan Kaufmann Publishers Inc., 2001.

概

CDE: Controlled Direct Effect;

NDE: Natural Direct Effect;

NIE: Natural Indirect Effect.

TDE: Total Direct Effect;

TIE: Total Indirect Effect;

PDE: Pure Direct Effect;

PIE: Pure Indirect Effect.

主要内容

设想, 药物$X$的影响通过俩种途径:

1. 直接对身体产生的影响;
2. 服用药物$X$会导致头疼, 故患者大概率会服用镇痛剂, 镇痛剂会利于(或者不利于)恢复.

如果我们直接计算causal effect, 则二者都会纳入其中, 但是往往我们所关心的只是单纯的$X \rightarrow Y$这一部分, 也即direct effect, 那么如何计算呢?

CDE

average CDE的计算是:

$$\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=z)] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=z)],$$

之所以被称之为controlled direct effect, 是因为我们认为的限定$Z=z$.
用上面的例子来说就是, 我们限定所有人服用的镇定剂为$z$.

NDE

average NDE的计算是:

$$\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=Z_{x*})] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)],$$

相当于, 一个人服用了药物$x$, 但是我们骗他说服用了药物$x^*$, 导致其服用镇定剂的量是本应该服用药物$x^*$后的量.

不同于CDE, NDE的计算要略微复杂一点:

需要满足:

$$Y_{xz} \amalg Z_{x^*} | W,$$

这里$W$是confounder.
此时:

$$NDE(x, x^*, Y) = \sum_{w, z}[\mathbb{E}[Y_{x,z}|w] - \mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w]]P(Z_{x^*}=z|w)P(w).$$

NIE

有些时候我们想要的是支线$X \rightarrow Z \rightarrow Y$, 此时我们需要计算NIE:

average NIE的计算是

$$\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=Z_{x})] -\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)].$$

类似的解释.

满足

$$Y_{x^*, z} \amalg Z_x | W,$$

可以得到

$$NIE(x, x^*, Y) = \sum_{w, z}\mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w][P(Z_{x}=z|w) - P(Z_{x^*}=z|w)]P(w).$$

TDE, TIE, PDE, PIE

可以发现:

$$\begin{array}{rl} \mathbb{E}[Y_{x}] -\mathbb{E}[Y_{x^*}] &=\mathbb{E}[Y_{xZ_x}] -\mathbb{E}[Y_{x^*Z_{x^*}}] \\ &=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xZ_x}]-\mathbb{E}[Y_{xZ_{x^*}}])}_{TIE} + \underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xZ_{x^*}}]-\mathbb{E}[Y_{x^*Z_{x^*}}])}_{PDE}\\ &=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xZ_x}]-\mathbb{E}[Y_{x^*Z_x}]])}_{TDE} + \underbrace{(\mathbb{E}[Y_{x^*Z_x}]-\mathbb{E}[Y_{x^*Z_{x^*}}])}_{PIE}. \end{array}$$

PDE = NDE, PIE = NIE.