Inverse/Implicit Function Theorem

目录

• 4.1 The Inverse Function Theorem
• The Implicit Function Theorem
• 4.3 Curves and Surfaces
• 4.4 The Morse Lemma

Chapter 4 Inverse Function Theorem

这个章节讲得很好, 还引用了庄子秋水中的一段话, 大佬啊.

4.1 The Inverse Function Theorem

映射\(F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\)在\(p_0\)可微, 若存在\(DF(p_0) \in \mathbb{R}^{m \times n}\)使得

\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{|F(p_0+h)-F(p_0)-DF(p_0)h|}{|h|}=0. \]

定理4.1(逆函数定理): 令\(F:U\rightarrow \mathbb{R}^n\)为一\(C^1\)映射, 其中\(U \subset \mathbb{R}^n\)为一开集, \(p_0 \in U\), 假设\(DF(p_0)\)可逆, 则存在开集\(V, W\)分别包含\(p_0, F(p_0)\)使得\(F\)在\(V\)上的限制是一个双射, 且其在\(W\)的逆映射是\(C^1\)的. 此外, 若\(F\)在\(U\)上是\(C^k, 1\le k \le \infty\)则其逆映射也是\(C^k\)的.

首先是需要证明在\(p_0\)附近的对应是一一的, 这用到了

\[T(x)=L^{-1}(Lx-F(x)+y), \]

这一压缩映射(首先得证明它是压缩映射, 同时在此过程中可确定\(W\)).
第二步是证明逆映射的连续性, 然后是可微性.

最后\(C^k\)的证明可由, \(DF(G(y))DG(y)=I\)得到

\[DF^{-1} (y)=(DF(F^{-1}(y)))^{-1}. \]

The Implicit Function Theorem

定理4.3 (隐函数定理): 设\(F:U \rightarrow \mathbb{R}^m\)为定义在开集\(U \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m\)上的\(C^1\)映射. 假设\((p_0, q_0) \in U\)满足\(F(p_0,q_0)=0\), 且\(D_yF(p_0, q_0)\)可逆. 则存在开集\(V_1 \times V_2\)包含\((p_0, q_0)\)和一个\(C^1\)映射\(\varphi:V_1 \rightarrow V_2\), \(\varphi(p_o)=q_0\)使得

\[F(x, \varphi(x))=0, \forall x \in V_1. \]

若\(F\)是\(C^k\)的, 则\(\varphi\)也是\(C^k\)的, \(1 \le k \le \infty\). 此外, 此映射在所定义的开集合(似乎需要加以限制)上是唯一的.

证明考虑下列映射

\[\Phi(x,y)=(x,F(x,y)), \]

并利用逆函数定理.

4.3 Curves and Surfaces

这是逆函数定理和隐函数定理的一个应用, 详见原文, 内容还是很有趣的.

4.4 The Morse Lemma

non-degenerate critical point: 即一阶梯度为0, 二阶梯度(黑塞矩阵)非奇异的点.

定理4.9 (Morse引理): 令\(f\)为一定义在\(\mathbb{R}^n\)的一个开集上, 且\(p_0\)为一非退化关键点( non-degenerate critical point). 则存在一个光滑的局部坐标变换\(x=\Phi(y), p_0=\Phi(0)\)使得

\[\tilde{f}(y)=f(\Phi(y))=f(p_0)-y_1^2-y_2^2-\cdots-y_m^2+y_{m+1}^2 + \cdots + y_n^2, \]

其中\(m, 0\le m \le n\)为关键点的index.

注: 原文中并没有\(f(p_0)\)这一项, 个人认为是作者的笔误.